陕西省宝鸡市凤翔区2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-17 类型：月考试卷

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请把正确答案的代号填在下表中）

1. 如图，若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $10 °$ B、 $50 °$ C、 $40 °$ D、 $140 °$

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2. 计算 ${(x + 1)}^{2} =$ （）

A、 $x^{2} + x$ B、 $x^{2} + 1$ C、 $x^{2} + x + 1$ D、 $x^{2} + 2 x + 1$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{4} \cdot a^{2} = a^{8}$ B、 ${(- 2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}$ C、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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4. 点P在直线l外，点A、B在直线l上，若PA＝4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（）

A、3 B、4.5 C、5 D、7

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5. 下列能使用平方差公式的是（）

A、 $(x + 3) (3 + x)$ B、 $(- x + y) (x - y)$ C、 $(5 m + n) (- 5 m - n)$ D、 $(3 m + n) (3 m - n)$

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6. 定义一种新运算 $a * b = - a b$ ，那么 $(m - n) * m$ 的运算结果为（）

A、 $m^{2} - m n$ B、 $- m^{2} + m n$ C、 $- m^{2} - m n$ D、 $m^{2} - n$

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7. 计算 ${(- \frac{1}{2})}^{2024} \times {(- 2)}^{2023} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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8. 如图，这是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为 $a$ 米， $b$ 米，其面积之和比剩余面积（阴影部分）多4平方米．则主卧与客卧的周长差为（）

A、4米 B、6米 C、8米 D、10米

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二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9. 如图， $O A ⊥ O B$ ， $O C ⊥ O D$ ， $∠ A O D = 50 °$ ，则 $∠ B O C =$ °．

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10. 中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达0.00014米．数字0.00014用科学记数法可表示为．

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11. 若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是．

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12. 已知 $2^{a} = 5, 2^{b} = 6, 2^{c} = 30$ ，那么 $a 、 b 、 c$ 之间满足的等量关系是．

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13. 小明制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各50张，其中A ， B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为 $(4 a + 5 b)$ ，宽为 $(7 a + 4 b)$ 的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是．（填写正确结论的序号）
①够用，剩余1张；②够用，剩余5张；③不够用，还缺1张；④不够用，还缺5张．

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三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）

14. 计算： ${(- x^{5})}^{4} + {(- x^{4})}^{5}$

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15. 计算： $- a^{2} (- 2 a b) + 3 a (a^{2} b - 1)$

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16. 计算： $(15 x^{2} y - 10 x y^{2}) \div 5 x y$ ．

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17. 计算： $| - 2 | + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(3 - \frac{1}{2023})}^{0}$ ．

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18. 先化简，再求值： $(a + b) (a - b) + a (2 b - a)$ ，其中 $a = \frac{3}{2}$ ， $b = - 2$ .

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19. 用简便方法计算： $202 4^{2} - 2023 \times 2025$ ．

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20. 已知一个角的余角是这个角的补角的 $\frac{1}{4}$ ，求这个角．

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21. 如图，某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一块长为 $(3 a + 2 b)$ 米，宽为 $(2 a + b)$ 米的长方形健身广场，广场内有一个边长为 $2 a$ 米的正方形活动场所，其余地方为绿化带．

(1)、用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示绿化带的总面积．（结果写成最简形式）．

(2)、若 $a = 10$ ， $b = 5$ ，求出绿化带的总面积．

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22. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若 $a + b = 3, a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解：因为 $a + b = 3, a b = 1$ ，所以 ${(a + b)}^{2} = 9, 2 a b = 2$ ，所以 $a^{2} + b^{2} + 2 a b = 9$ ，所以 $a^{2} + b^{2} = 7$ ．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：

(1)、若 $a - b = - 5, a b = 3$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ．

(2)、若 ${(a + b)}^{2} = 17, {(a - b)}^{2} = 13$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．

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23. 如图，已知 $O E ⊥ A B$ ，垂足为O ，且直线 $C D$ 经过点O ．

(1)、若 $∠ A O D = 35 °$ ，求 $∠ C O E$ 的度数；

(2)、若 $∠ B O C : ∠ C O E = 2 : 3$ ，求 $∠ D O E$ 的度数．

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24. 如图，直线 $A B$ ， $C D$ 相交于点O ，分别作 $∠ A O D$ ， $∠ B O D$ 的平分线 $O E$ ， $O F$ ．

(1)、若 $∠ A O D = 120 °$ ，则 $∠ E O F$ 的度数为．

(2)、请判断 $O E$ 与 $O F$ 之间的位置关系，并说明理由．

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25. 观察下列各式： $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$
$(x^{2} + x + 1) (x - 1) = x^{3} - 1$
$(x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1) = x^{4} - 1$
$⋅ ⋅ ⋅$

(1)、根据以上规律可知， $(x^{5} + x^{4} + x^{2} + x + 1) (x - 1) =$ ．

(2)、你能否由此归纳出一般性规律： $(x^{n} + x^{n - 1} + x^{n - 2} + \cdot \cdot \cdot + x^{2} + x + 1) (x - 1) =$ ．

(3)、计算 $1 + 2 + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + 2^{2023} + 2^{2024}$ ．

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26. 定义：对于一组关于 $x$ 的多项式 $x + a, x + b, x + c, x + d$ （ $a, b, c, d$ 是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数 $p$ 时（不含字母 $x$ ），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数 $p$ 的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式 $x + 1, x + 2, x + 3, x + 4$ ，因为 $(x + 1) (x + 4) - (x + 2) (x + 3) = (x^{2} + 5 x + 4) - (x^{2} + 5 x + 6) = - 2$ ，所以多项式 $x + 1, x + 2, x + 3, x + 4$ 是一组黄金多项式，其黄金因子为 $| - 2 | = 2$ ．

(1)、小贤发现多项式 $x + 2, x + 4, x + 7, x + 9$ 是一组黄金多项式，其列式为 $(x + 2) (x + 9) - (x + 4) (x + 7)$ ，请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子．

(2)、若多项式 $x + 2, x - 3, x + 6, x + n$ （ $n$ 是有理数）是一组黄金多项式，求 $n$ 的值．

(3)、若多项式 $x + m$ （ $m$ 为有理数）， $x - 2, x + 1, x + 2$ 是一组黄金多项式，且黄金因子为4，请直接写出 $m$ 的值．

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