湖北省黄石市阳新县北部联盟2024年数学第一次中考模拟诊断试卷

试卷更新日期：2024-04-17 类型：中考模拟

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一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答．

1. 下列各数中，绝对值最大的数是（　　）

A、-3 B、-2 C、0 D、2

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2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 $4$ 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 1月9日，中国国家铁路集团有限公司发布数据称，2023年全年，国家铁路完成旅客发送量36.8亿人次，高峰日发送旅客突破2000万人次，全年和高峰日旅客发送量均创历史新高，其中数据“36.8亿”用科学记数法表示为（）

A、 $3.68 \times 1 0^{9}$ B、 $36.8 \times 1 0^{9}$ C、 $3.68 \times 1 0^{10}$ D、 $0.368 \times 1 0^{10}$

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4. 如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下的几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（）

A、① B、② C、③ D、④

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5. 下列计算 ${(3 a^{3})}^{2}$ 正确的是（）

A、 $3 a^{6}$ B、 $6 a^{5}$ C、 $8 a^{9}$ D、 $9 a^{6}$

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6. 下列说法正确的是（）

A、成语“刻舟求剑”描述的是必然事件 B、了解央视春晚的收视率适合用抽样调查 C、调查某品牌烟花的合格率适合用全面调查 D、如果某彩票的中奖率是1%，那么一次购买100张彩票一定会中奖

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7. 分式方程 $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ 的解是（）

A、x=1 B、x=﹣1+ $\sqrt{5}$ C、x=2 D、无解

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8. 班长邀请A ， B ， C ， D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，则A ， B两位同学座位相邻的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB ， D为圆周上一点，若∠ADC的度数为35°，则∠ABO的度数为（）

A、15° B、20° C、25° D、30°

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10. 已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上．

11. 写出一个比4小的正无理数．

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12. 截止2021年4月中国高速路总里程达16万公里.请将“16万”用科学记数法表示记为.

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13. 如图，电路上有①、②、③3个开关和一个小灯泡，若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为．

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14. 用长为12米铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，当x等于时窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）．

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15. 如图，平行四边形ABCD中，AB＝4， $B C = \sqrt{37}$ ， ∠ABC＝120°，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠得到 $△ A^{'} B E$ ，若点 $A^{'}$ 恰好在线段CE上，则AE的长为．

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16. 抛物线 $y = a x^{2} ＋ b x ＋ c$ （a ， b ， c是常数）经过 $(1, 1)$ ， $(m, 0)$ ， $(m + 2, 0)$ ，三点，给出下列四个结论：① $a < 0$ ；②若 $x > \frac{3}{2}$ 时，y随x增加而减少，则 $m = \frac{3}{2}$ ；③若 $(m + 1, t)$ 在抛物线上，则 $t > 1$ ；④ $b^{2} - 4 a c = 4 a^{2}$ ；其中正确的结论是．（填写序号）．

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三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．）

17. 先化简，再求值 $(\frac{a^{2} + b^{2}}{a b} - 2) \div (\frac{1}{b} - \frac{1}{a})$ ，其中 $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ .

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18. 如图，点D ， E ， F分别是 $△ A B C$ 的边 $B C$ ， $A C$ ， $A B$ 上的点， $D F ∥ C A$ ， $∠ A = ∠ E D F$ ，

(1)、求证：四边形 $A F D E$ 为平行四边形；

(2)、若 $\frac{B D}{D C} = \frac{3}{5}$ ，直接写出 $\frac{S_{△ B D F}}{S_{△ C D E}}$ 的值为．

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19. “感受数学魅力，提升数学素养”，思远中学在校开展了数学文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A ， B ， C三个等级：A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x＜100．
下面给出了部分信息：
抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96；
抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88．
两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如下表所示：
学生
平均数
中位数
众数
七年级
86
85
b
八年级
86
a
88
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空：a＝， b＝， $β =$ ；

(2)、根据以上数据，请你对七年级竞赛成绩作出分析？（写一条即可）；

(3)、若八年级共有300名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．

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20. 如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行60m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°.根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）.参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60

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21. 如图是由小正方形组成的 $7 \times 4$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点， $△ A B C$ 中，A是格线上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

(1)、在图（1）中，取 $A B$ 的中点M；将 $A C$ 沿着 $A B$ 方向平移至 $B D$ ；

(2)、在图（2）中，将线段 $C B$ 绕C逆时针旋转 $90 °$ 至 $C E$ （点E为点B的对应点）；过点E作 $E F ⊥ A B$ 于F ．

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22. 网络直播带货已成为一种新业态，某网店尝试用60天的时间，按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/每件的商品，经过统计得到此商品的日销售量 $m$ （件）、销售单价 $n$ （元/件）在第 $x$ 天（x为正整数）销售的相关信息：
① $m$ 与 $x$ 满足一次函数关系，且第1天的日销售量为98件，第4天的日销售量为92件；
② $n$ 与 $x$ 函数关系如下图所示；

(1)、第5天的日销售量件； $n$ 与 $x$ 的函数关系式为．

(2)、在这60天中，网店哪天销售该商品的日利润 $y$ 最大？最大是多少元？

(3)、在这60天中，共有多少天日利润 $y$ 不低于2418元？

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23. 倡导垃圾分类，共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2小时共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5小时共分拣垃圾8吨.

(1)、1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？

(2)、某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，机器人公司的报价如下表：

型号	原价	购买量少于30台	购买量不少于30台
A型	20万元/台	原价购买	打九折
B型	12万元/台	原价购买	打八折

①若要求这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨.设其中购买A型机器人x台（10≤x≤35），购买两种机器人总费用为W万元.求W与x的函数关系式，并说明如何购买总费用最少；

②为了加快垃圾分拣速度，垃圾处理厂计划用不超过140万元增购这两种机器人共10台，机器人公司全部以打折后价格销售，这10台机器人每小时最多处理多少吨垃圾？

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24. 如图1，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值及直线 $B C$ 的解析式；

(2)、如图1，点 $P$ 是抛物线上位于直线 $B C$ 上方的一点，连接 $A P$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，过 $P$ 作 $P F ⊥ x$ 轴于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $G$ ，
(ⅰ)若 $E P = E G$ ，求点P的坐标，
(ⅱ)连接 $C P$ ， $C A$ ，记 $△ P C E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A C E$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值；

(3)、如图2，将抛物线位于 $x$ 轴下方面的部分不变，位于 $x$ 轴上方面的部分关于 $x$ 轴对称，得到新的图形，将直线 $B C$ 向下平移 $n$ 个单位，得到直线 $l$ ，若直线 $l$ 与新的图形有四个不同交点，请直接写出 $n$ 的取值范围．

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学生	平均数	中位数	众数
七年级	86	85	b
八年级	86	a	88