湖北省随州市2024年联考中考一模数学试题

试卷更新日期：2024-04-17 类型：中考模拟

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一、选择题(共10题每小题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1. 2024的相反数是（）

A、2024 B、 $\frac{1}{2024}$ C、 $- 2024$ D、不存在

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2. 2023年长沙国际马拉松在芙蓉中路（贺龙体育中心东广场旁）起跑，来自国内外的26000名跑友汇成一片红色的海洋驰聘在长马赛道上，他们用脚步丈量星城，感受一江两岸、山水洲城的魅力，图①是此次全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台从正面看到的平面图形是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 < 0 \\ x + 1 \geq 0 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列说法正确的是（）

A、了解我是“创文明、树新风”活动的市民知晓情况，适合采用全面调查 B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C、学校将选择初三的一名学生参加市里的数学竞赛活动，甲、乙、丙三位同学初三一学期的数学成绩的方差分别为 $S_{1}^{2} = 2.6$ ， $S_{2}^{2} = 3.1$ ， $S_{3}^{2} = 2.9$ ，选择乙同学去最合适 D、可能性是 $99 %$ 的事件在一次实验中一定会发生

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5. 下列各运算中，正确的运算是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、（2a）³＝8a³ C、a⁸÷a⁴＝a² D、（a﹣b）²＝a²﹣b²

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6. 已知直线 $m ∥ n$ ，将含有 $30 °$ 的直角三角尺 $A B C$ 按如图方式放置（ $∠ C A B = 30 °$ ），其中A，C两点分别落在直线m，n上，若 $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $35 °$ D、 $40 °$

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7. 如图，将正方形 $A M N P$ 和正五边形 $A B C D E$ 的中心 $O$ 重合，按如图位置放置，连接 $O P$ 、 $O E$ ，则 $∠ P O E =$ （）

A、 $18 °$ B、 $19 °$ C、 $20 °$ D、 $21 °$

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8. 如图， $P A, P B$ 分别切 $⊙ O$ 于 $A, B$ 两点，点 $C$ 在优弧 $\overset{⌢}{A C B}$ 上， $∠ P = 70 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $110 °$ B、 $70 °$ C、 $55 °$ D、 $65 °$

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9. 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角 $∠ A B D = 45 °$ ，再沿 $B D$ 方向前进至C处测得最高点A的仰角 $∠ A C D = 60 °$ ， $B C = 15.3 m$ ，则灯塔的高度 $A D$ 大约是（）（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

A、 $31 m$ B、 $36 m$ C、 $42 m$ D、 $53 m$

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = - 2$ ，且过点 $(1, 0)$ ．现有以下结论：① $a b c < 0$ ；② $5 a + c = 0$ ；③对于任意实数 $m$ ，都有 $2 b + b m \leq 4 a - a m^{2}$ ；④若点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 是图象上任意两点，且 $| x_{1} + 2 | < | x_{2} + 2 |$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ，其中正确的结论是（）

A、①② B、②③④ C、①②④ D、①②③④

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二、填空题(共5题，每小题3分，共15分

11. 计算： $\frac{x}{x - 1} + \frac{2 x - 1}{1 - x} =$ ．

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12. 请写出一组k、b的值，使一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过第一、三、四象限：．

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13. 小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为．

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14. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为．

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15. 如图，在等边△ABC中， $A B = 6$ ，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转 $6 0^{∘}$ 得到△ACQ ，点D是AC边的中点，连接DQ ，则DQ的最小值是．

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三、解答题(共9题，共75分，解答就应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(2 - \sqrt{2})}^{0} - | \sqrt{3} - 2 |$ ．

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17. 如图，点 $E ， F$ 分别在菱形 $A B C D$ 的边 $B C ， C D$ 上， $B E = D F$ .求证： $A E = A F .$

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18. 2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功．为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元．问甲、乙两种型号客车各租多少辆？

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19. 某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A ， B ， C ， D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次一共抽样调查了名学生；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数；

(4)、学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”．用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．

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20. 已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y $= \frac{m}{x}$ 的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、求△AOB的面积；

(3)、结合图像直接写出不等式kx+b $＞ \frac{m}{x}$ 的解集．

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $A B$ 是直径， $C$ 是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 6$ ， $A C = 8$ ，求 $C E ， D E$ 的长．

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22. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒．

(1)、当 $x = 60$ 时， $p =$ ；

(2)、当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？

(3)、小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为 $60 \leq x \leq 80$ ． ”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．

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23.

(1)、【问题提出】如图①，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E, F, G$ 分别在边 $B C, A B, C D$ 上， $G F ⊥ A E$ ．请判断 $A E$ 与 $G F$ 的数量关系，并说明理由．

(2)、【类比探究】如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $\frac{B C}{A B} = \frac{3}{4}$ ，将矩形 $A B C D$ 沿 $G F$ 折叠，使点 $A$ 落在 $B C$ 边上的点 $E$ 处，得到四边形 $F E P G, E P$ 交 $C D$ 于点 $H$ ，连接 $A E$ 交 $G F$ 于点 $O$ ．则 $G F$ 与 $A E$ 之间的数量关系为．

(3)、【拓展应用】在（2）的条件下，若 $s i n ∠ E F B = \frac{4}{5}$ ， $G F = 3 \sqrt{5}$ ，则 $C E$ 的长为．

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24. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A (4, 0)$ ， $C (- 1, 0)$ 两点，于 $y$ 轴交于点 $B$ ， $P$ 为第一象限抛物线上的动点，连接 $A B$ ， $B C$ ， $P A$ ， $P C$ ， $P C$ 与 $A B$ 相交于点 $Q$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、设 $△ A P Q$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B C Q$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} - S_{2} = 5$ 时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、是否存在点 $P$ ，使 $∠ P A B + ∠ C B O = 45 °$ ，若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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