湖北省孝感市孝南区2024年中考一模数学试题

试卷更新日期：2024-04-17 类型：中考模拟

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一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 下列四个数中，最小的数是（）

A、 $- 3$ B、0 C、 $- 1$ D、2

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2. 下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 关于 $x$ 的一元一次不等式 $x - 1 \leq m$ 的解集在数轴上的表示如图所示，则 $m$ 的值为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{7} = \sqrt{10}$ B、 $x^{6} \div x^{3} = x^{2}$ C、 ${(- x y^{3})}^{2} = x^{2} y^{6}$ D、 ${(\sqrt{5})}^{0} = 0$

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5. 下列说法正确的是（）

A、了解“湖北省初中生每天体育运动时间的情况”最适合的调查方式是全面调查 B、“打开电视机，恰好播放新闻”这一事件是不可能事件 C、大量重复试验时，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D、甲、乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等， $S_{甲}^{2} > S_{乙}^{2}$ ，则甲的成绩比乙稳定

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6. 已知 $x_{1}, x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x = 0$ 的两个实数根，下列结论错误的是（）

A、 $x_{1} \neq x_{2}$ B、 ${x_{1}}^{2} - 3 x_{1} = 0$ C、 $x_{1} + x_{2} = 3$ D、 $x_{1} \cdot x_{2} = 3$

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7. 如图，平行于主光轴 $M N$ 的光线 $A B$ 和 $C D$ 经过凹透镜的折射后，折射光线 $B E$ ， $D F$ 的反向延长线交于主光轴 $M N$ 上一点P ．若 $∠ A B E = 150 ° ， ∠ C D F = 160 °$ ，则 $∠ E P F$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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8. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，线段 $O A$ 在平面直角坐标系内，A点坐标为 $(2, 5)$ ，线段 $O A$ 绕原点O旋转 $90 °$ ，得到线段 $O A^{^{'}}$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 5, 2)$ B、 $(- 5, - 2)$ C、 $(5, - 2)$ 或 $(- 5, - 2)$ D、 $(- 5, 2)$ 或 $(5, - 2)$

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10. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的一部分，其对称轴是 $x = - 1$ ，且过点 $(- 3, 0)$ ，如下结论：① $a b c > 0$ ；② $b = 2 a$ ；③ $a + b + c < 0$ ；④若 $(- 4, y_{1})$ ， $(3, y_{2})$ 是抛物线上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$ ；⑤ $a - b > m (a m + b)$ ；其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3 个 D、4个

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二、填空题（共5题，每题3分，共15分）

11. 计算 $\frac{{(x + y)}^{2} - {(x - y)}^{2}}{4 x y}$ 的结果为．

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12. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF.

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13. 喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点 $P$ 处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道 $A B$ 为东西方向，赛道起点 $A$ 位于点 $P$ 的北偏西 $30 °$ 方向上，终点 $B$ 位于点 $P$ 的北偏东 $60 °$ 方向上， $A B = 200$ 米，则点 $P$ 到赛道 $A B$ 的距离约为米（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）．

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14. 某市体育中考新增了“三大球”选考项目，即A ．足球运球绕杆；B ．排球垫球；C ．篮球运球绕杆．在体育课时，体育老师让每名学生需从这三项中随机选取一项进行训练．小方和小迪参加了这次“三大球”体育课训练，则他们选取同一训练项目的概率为．

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15. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”．作 $E M ∥ N G ∥ A D$ ，若 $G F = 2 F M$ ，则 $\frac{M N}{F D}$ 的值为．

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三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 计算： $\sqrt{12} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} - | - \sqrt{3} | - t a n 60 °$ ．

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17. 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC ， BD交于点O ， ▲ ．
求证： ▲ ．

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18. 为改善居民出行环境，相关部门决定对某路段进行施工改造．施工全长600米，为了早日方便市民，实际施工时，每天的工效比原计划增加 $20 %$ ，结果提前2天完成这一任务，求原计划每天施工多少米？

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19. 某初中学校为了更好地开展“家国情•诵经典”读书活动，需要先制定学生每天阅读时间（m／分钟）的合格标准．为此从全校学生中随机抽取200人进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据（m／分钟）．将收集的数据分为A ， B ， C ， D ， E五个等级，绘制成如下统计图表（尚不完整）：
平均每天阅读时间统计表
等级
组中值
人数（频数）
A（ $10 \leq m < 20$ ）
15
x
B（ $20 \leq m < 30$ ）
25
65
C（ $30 \leq m < 40$ ）
35
10
D（ $40 \leq m < 50$ ）
45
80
E（ $50 \leq m \leq 60$ ）
55
y
请根据图表中的信息，解答下列问题：

(1)、则x的值为， C等级所对应的扇形圆心角的度数为°；

(2)、这组数据的中位数所在的等级是；

(3)、若抽取的200人的每天平均阅读时间约为32分钟，请你从平均数、中位数中选取一个量，为该校制定一个学生每天阅读时间的合格标准（时间取整数分钟），并用统计量说明其合理性．

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20. 如图，正比例函数 $y = - \frac{2}{3} x$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图像都经过点 $A (a ， 2)$ ．

(1)、求点A的坐标和反比例函数表达式．

(2)、若点 $P (m ， n)$ 在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图像直接写出n的取值范围．

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21. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点E ， D是边 $A B$ 上一点，以 $B D$ 为直径的 $⊙ O$ 经过点E ，且交 $B C$ 于点F ．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C F = 3$ ， $C E = 3 \sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积．

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22. 园林基地计划投资种植花卉及树木，已知种植树木的利润 $y_{1}$ 与投资量x成正比例关系，种植花卉的利润 $y_{2}$ 与投资量x的平方成正比例关系，并根据市场调查与预测，得到了表格中的数据．
投资量x（万元）
2
种植树木利润 $y_{1}$ （万元）
4
种植花卉利润 $y_{2}$ （万元）
2

(1)、请根据表格填空：利润 $y_{1}$ 与投资量x的函数关系式为；利润 $y_{2}$ 与投资量x的函数关系式为；

(2)、如果这个基地计划以6万元资金全部投入种植花卉和树木，设投入种植花卉的金额为m万元，种植花卉和树木共获利W万元，求出W关于m的函数关系式，并求该基地至少获得多少利润？基地能获取的最大利润是多少？

(3)、若该基地想获利不低于 $12$ 万，在（2）的条件下，请直接写出投资种植花卉的金额m的范围．

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23. 已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰三角形，且 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，若点D在 $B C$ 边上运动时，总保持 $∠ A D E = ∠ B$ ，连接 $C E, D E$ 与 $A C$ 交于点F ．

(1)、①如图1，当点D为 $B C$ 边中点时，则 $\frac{C E}{B C}$ 的值为 ▲ ；
②如图2，当点D不为 $B C$ 边中点时，求证： $C E = B D$ ；

(2)、如图3，当点D在 $B C$ 边上运动中恰好使得 $A E ∥ B C$ 时，若 $A B = 5$ ， $B C = 6$ ，求 $D F$ 的长．

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24. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + \frac{5}{4}$ 与x轴相交于 $A (\frac{1}{2}, 0)$ 、 $B (\frac{5}{2}, 0)$ 两点，与y轴交于点C ，连接BC ，抛物线顶点为点M ．

(1)、直接写出a ， b的值及点M的坐标；

(2)、点N为抛物线对称轴上一点，当 $A N + C N$ 最小时，求点N的坐标；

(3)、平移直线BC得直线 $y = m x + n$ ．
①如图2，若直线 $y = m x + n$ 过点M ，交x轴于点D ，在x轴上取点 $E (\frac{7}{6}, 0)$ ，连接EM ，求∠DME的度数．
②把抛物线 $y = a x^{2} + b x + \frac{5}{4}$ 在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3）．当直线 $y = m x + n$ 与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围．

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等级	组中值	人数（频数）
A（ $10 \leq m < 20$ ）	15	x
B（ $20 \leq m < 30$ ）	25	65
C（ $30 \leq m < 40$ ）	35	10
D（ $40 \leq m < 50$ ）	45	80
E（ $50 \leq m \leq 60$ ）	55	y

投资量x（万元）	2
种植树木利润 $y_{1}$ （万元）	4
种植花卉利润 $y_{2}$ （万元）	2