湖北省恩施土家族苗族自治州建始县恩施市熊家岩初级中学2024年中考一模数学试题

试卷更新日期：2024-04-17 类型：中考模拟

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一、单选题（共30分）

1. 用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是(　　)

A、 B、 C、 D、

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2. 下列实数： $- 1$ ， 0， $\sqrt{2}$ ， $- \frac{1}{2}$ ，其中最小的是（　　）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\sqrt{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　）

A、9 B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- 9$

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5. 如图，取一根长 $100 c m$ 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点 $O 25 c m (L_{1} = 25 c m)$ 处挂一个重 $9.8 N (F_{1} = 9.8 N)$ 的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位： $c m$ ）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足 $F L = F_{1} L_{1}$ ．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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6. 分式方程 $\frac{x}{x - 3} = \frac{x + 1}{x - 1}$ 的解是（　　）

A、 $x = 3$ B、 $x = - 3$ C、 $x = 2$ D、 $x = 0$

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7. 将含 $60 °$ 角的直角三角板按如图方式摆放，已知 $m ∥ n$ ， $∠ 1 = 20 °$ ，则 $∠ 2 =$ （　　）

A、 $40 °$ B、 $30 °$ C、 $20 °$ D、 $15 °$

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8. 下列运算正确的是（　　）

A、 ${(m - 1)}^{2} = m^{2} - 1$ B、 ${(2 m)}^{3} = 6 m^{3}$ C、 $m^{7} \div m^{3} = m^{4}$ D、 $m^{2} + m^{5} = m^{7}$

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9. 如图，等圆 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 相交于A ， B两点， $⊙ O_{1}$ 经过 $⊙ O_{2}$ 的圆心 $O_{2}$ ，若 $O_{1} O_{2} = 2$ ，则图中阴影部分的面积为（　　）

A、 $2 π$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、 $π$ D、 $\frac{2}{3} π$

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10. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，O为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为 $x = 1$ ，与x轴的一个交点位于 $(2 ， 0)$ ， $(3 ， 0)$ 两点之间．下列结论：① $2 a + b > 0$ ； ② $b c < 0$ ；③ $a < - \frac{1}{3} c$ ； ④若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根，则 $- 3 < x_{1} \cdot x_{2} < 0$ ．其中正确的有（　　）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（共15分）

11. 9的算术平方根是．

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12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）.

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13. 因式分解： $a^{3} - 6 a^{2} + 9 a =$ ．

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14. 定义一种新运算： $x * y = \frac{x + 2 y}{x}$ ，如 $2 * 1 = \frac{2 + 2 \times 1}{2} = 2$ ，则 $(4 * 2) * (- 1) =$ ．

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15. 把所有的正整数按一定规律排列成如图所示的数表，若根据行列分布，正整数6对应的位置记为（2，3），则位置（4，2）对应的正整数是.

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三、解答题（共75分）

16. 先化简，再求值： $1 - \frac{a - 2}{a + 4} \div \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 8 a + 16}$ ，其中 $a = \sqrt{2} - 2$ .

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17. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (k + 1) x + k^{2} + 2 = 0$ ．

(1)、若方程的一个根为2，求 $k$ 的值；

(2)、若方程有实数根，求 $k$ 的取值范围．

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18. 九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试.现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：

	平均数	中位数	众数	方差
甲	175	$a$	$b$	93.75
乙	175	175	180，175，170	$c$

(1)、求

a

、

b

的值；

(2)、若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；

(3)、根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优.

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19. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，且 $D E / / A C$ ， $A E / / B D$ ，连接 $O E$ .求证： $O E ⊥ A D$ .

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20. 如图，在 $R t △ A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $⊙ O$ 与 $A B$ 相交于点 $C$ ，与 $A O$ 相交于点 $E$ ，连接 $C E$ ，已知 $∠ A O C = 2 ∠ A C E$ .

(1)、求证： $A B$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A O = 20$ ， $B O = 15$ ，求 $C E$ 的长.

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21. “互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地.甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销.已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同.

(1)、求每千克花生、茶叶的售价；

(2)、已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克.甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍.则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？

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22. 如图，在平面直角坐标系中， $R t △ A B C$ 的斜边 $B C$ 在 $x$ 轴上，坐标原点是 $B C$ 的中点， $∠ A B C = 30 °$ ， $B C = 4$ ，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 经过点 $A$ .

(1)、求 $k$ ；

(2)、直线 $A C$ 与双曲线 $y = - \frac{3 \sqrt{3}}{x}$ 在第四象限交于点 $D$ .求 $△ A B D$ 的面积.

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23. 乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶 $D$ 处观测乙居民楼楼底 $B$ 处的俯角是 $30 °$ ，观测乙居民楼楼顶 $C$ 处的仰角为 $15 °$ ，已知甲居民楼的高为 $10 m$ ，求乙居民楼的高.（参考数据： $\sqrt{2} = 1.414$ ， $\sqrt{3} = 1.732$ ，结果精确到 $0.1 m$ ）

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24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A B C D$ 为正方形，点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴上，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $B$ ， $D (- 4 ， 5)$ 两点，且与直线 $D C$ 交于另一点 $E$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、 $F$ 为抛物线对称轴上一点， $Q$ 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 $Q$ ， $F$ ， $E$ ， $B$ 为顶点的四边形是以 $B E$ 为边的菱形.若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、 $P$ 为 $y$ 轴上一点，过点 $P$ 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 $M$ ，连接 $M E$ ， $B P$ .探究 $E M + M P + P B$ 是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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