广西壮族自治区南宁市横县2024年高一年级下学期4月考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-17 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

1. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，若 $b^{2} = a^{2} + c^{2} + a c$ ，则角 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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2. 如图所示， $△ A B C$ 中，点D是线段 $B C$ 的中点，E是线段 $A D$ 的靠近A的三等分点，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{5}{3} \vec{B A} - \frac{1}{3} \vec{B C}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{6} \vec{B C}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$

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3. 已知两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\frac{| \vec{a} + 2 \vec{b} |}{| \vec{a} - \vec{b} |} =$ （）

A、3 B、 $\sqrt{7}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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4. 已知 $α$ ， $β$ ， $γ$ 为不同的平面，m ， n ， l为不同的直线，则下列条件中一定能得到 $m ⊥ β$ 的是（）

A、 $α ∩ γ = m$ ， $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ B、 $α ⊥ β$ ， $α ∩ β = l$ ， $m ⊥ l$ C、 $n ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ D、 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $m ⊥ α$

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5. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 底面的四个顶点A ， B ， C ， D在球O的同一个大圆上，点P在球面上.若 $V_{P - A B C D} = \frac{16}{3}$ ，则球O的体积是（）

A、 $32 π$ B、 $16 π$ C、 $\frac{32}{3} π$ D、 $8 π$

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是 $B B_{1}$ 的中点.若 $A B = 6$ ，则点B到平面ACE的距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$ D、3

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7. 正三棱锥 $S - A B C$ 的底面是面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，高为 $2 \sqrt{2}$ ，则其内切球的表面积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $\frac{8 π}{3}$ C、 $\frac{16 π}{9}$ D、 $\frac{8 π}{9}$

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8. 如图，在多面体中，平面平面 $D E F G$ ， $E F / / D G$ ，且 $A B = D E$ ， $D G = 2 E F$ ，则（）

A、 $B F / /$ 平面ACGD B、 $C F / /$ 平面ABED C、 $B C / / F G$ D、平面 $A B E D / /$ 平面CGF

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选不得分。每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

9. 有下列说法，其中正确的说法为（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则P是三角形 $A B C$ 的垂心 C、两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且反向 D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则存在唯一实数 $λ$ 使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，点P满足 $\overset{⇀}{B P} = 3 \overset{⇀}{P C}$ ，过点P的直线与 $A B$ 、 $A C$ 所在的直线分别交于点M、N ，若 $\overset{⇀}{A M} = λ \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{A N} = μ \overset{⇀}{A C} (λ > 0, μ > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{A P} = \frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\overset{⇀}{A P} = \frac{1}{4 λ} \overset{⇀}{A M} + \frac{3}{4 μ} \overset{⇀}{A N}$ C、 $\frac{1}{4 λ} + \frac{3}{4 μ}$ 为定值 D、 $λ + μ$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则（）

A、直线 $B C_{1}$ 与 $D A_{1}$ 所成的角为 $90 °$ B、直线 $B C_{1}$ 与 $C A_{1}$ 所成的角为 $90 °$ C、直线 $B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角为 $45 °$ D、直线 $B C_{1}$ 与平面ABCD所成的角为 $45 °$

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12. 已知O为坐标原点，点 $P_{1} (c o s α, s i n α)$ ， $P_{2} (c o s β, - s i n β)$ ， $P_{3} (c o s (α + β), s i n (α + β))$ ， $A (1, 0)$ ，则（）

A、 $| \vec{O P_{1}} | = | \vec{O P_{2}} |$ B、 $| \vec{A P_{1}} | = | \vec{A P_{2}} |$ C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O P_{3}} = \vec{O P_{1}} \cdot \vec{O P_{2}}$ D、 $\vec{O A} \cdot \vec{O P_{1}} = \vec{O P_{2}} \cdot \vec{O P_{3}}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线的向量，若 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C B} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， A ， B ， D三点共线，则 $λ$ 的值为.

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14. $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是平面内两个不共线的向量，且 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 4 k \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，若 $a / / b$ ，则实数 $k =$ .

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15. 已知α，β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .

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16. 如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是 .

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{s i n B} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{s i n A}$ ．

(1)、证明： $A = B$ ．

(2)、若D为BC的中点，从① $A D = 4$ ， ② $c o s C = \frac{1}{4}$ ， ③ $C D = 2$ 这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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18. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{c} = m \vec{a} + 3 \vec{b}$ .

(1)、求 $| 2 \vec{a} - \vec{b} |$ ；

(2)、当 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ 时，求实数m.

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19. 已知一圆锥的母线长为 $10 c m$ ，底面半径为 $6 c m$ .

(1)、求圆锥的高；

(2)、若圆锥内有一球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求此球的表面积.

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20. 如图①，已知等边三角形ABC的边长为3，点M ， N分别是边AB ， AC上的点，且 $B M = 2 M A$ ， $A N = 2 N C$ .如图②，将 $△ A M N$ 沿MN折起到 $△ A^{'} M N$ 的位置.

(1)、求证：平面 $A^{'} B M ⊥$ 平面BCNM.

(2)、给出三个条件：
① $A^{'} M ⊥ B C$ ；②二面角 $A^{'} - M N - C$ 的大小为的大小为 $60 °$ ；③ $A^{'}$ 到平面BCNM的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
在其中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答：已知 ▲ ，在线段 $A^{'} C$ 上是否存在一点P ，使三棱锥 $A^{'} - P M B$ 的体积为 $\frac{3}{4}$ ？若存在，求出 $\frac{A^{'} P}{A^{'} C}$ 的值，若不存在，请说明理由.

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21. 如图所示，平面平面ABC ，平面平面 $A B C$ ， $A E ⊥$ 平面PBC ， E为垂足.求证：

(1)、 $P A ⊥$ 平面ABC；

(2)、当E为 $△ P B C$ 的垂心时，求证： $△ A B C$ 是直角三角形.

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22. 在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC.

(1)、从三棱锥 $P - A B C$ 中选择合适的两条棱填空.若 $⊥$ ，则该三棱锥为“鳖臑”.

(2)、已知三棱锥 $P - A B C$ 是一个“鳖臑”，且 $A C = 1$ ， $A B = 2$ ， $∠ B A C = 60 °$ .
①若 $△ P A C$ 上有一点D ，如图①所示，试在平面PAC内作出一条过点D的直线l ，使得l与BD垂直，说明作法，并给予证明；
②若点D在线段PC上，点E在线段PB上，如图②所示，且 $P B ⊥$ 平面EDA ，证明 $∠ E A B$ 是平面EAD与平面BAC的二面角的平面角.

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