河北省保定市高碑店市崇德实验中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-17 类型：月考试卷

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一、/span>､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 6 < 0}$ ，集合 $B = {x \in Z | - 2 < x < 3}$ ，则集合 $A \cap B$ 为（）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${0, 1, 2}$

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3. “ $l n (x + 2) < 0$ ”是“ $x < 0$ ”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $x, y$ 的取值如下表：
$x$
0
1
3
4
$y$
$2.2$
$4.3$
$4.8$
$6.7$
$y$ 与 $x$ 线性相关，且线性回归直线方程为 $\overset{\land}{y} = 0.95 x + a$ ，则 $a$ =（）

A、 $3.35$ B、 $2.6$ C、 $2.9$ D、 $1.95$

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5. 盒中装有10个乒乓球，其中7个新球，3个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取到新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）

A、 $\frac{1}{42}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{21}{45}$

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6. 银行定期储蓄存单的密码由6个数字组成，每个数字均是0~9中的一个，小王去银行取一笔到期的存款时，忘记了密码中某一位上的数字，他决定不重复地随机进行尝试，则不超过2次就按对密码的概率为（）

A、 $\frac{9}{100}$ B、 $\frac{3}{20}$ C、 $\frac{19}{100}$ D、 $\frac{1}{5}$

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7. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3 ， 1)$ ，且 $P (2 \leq X \leq 4) = 0.6826$ ，则 $P (X > 4) =$ （）

A、0.0799 B、0.1587 C、0.3 D、0.3413

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8. 已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (4, \frac{1}{2})$ ，则 $E (3 X + 1) =$ （）.

A、3 B、4 C、6 D、7

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二、/span>､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9. 设集合 $A = {1, 4, x}$ ， $B = {1, x^{2}}$ ，且 $A \cup B = {1, 4, x}$ ，则满足条件的实数 $x$ 的值是（）

A、－2 B、3 C、1 D、0

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10. 已知随机变量 $X$ 满足 $E (2 X + 1) = 5, D (3 X - 1) = 9$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $E (X) = 2$ B、 $E (X) = \frac{5}{4}$ C、 $D (X) = 1$ D、 $D (X) = 3$

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11. 下列判断中正确是（）

A、一组从小到大排列的数据 $- 1$ ， 1，3，5，6，7，9，x ， 10，10，去掉x与不去掉x ，它们的80%分位数都不变，则 $x = 10$ B、两组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, ⋯, x_{m}$ 与 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, ⋯, y_{n}$ ，设它们的平均值分别为 $E_{x}$ 与 $E_{y}$ ，将它们合并在一起，则总体的平均值为 $\frac{m}{m + n} E_{x} + \frac{n}{m + n} E_{y}$ C、已知离散型随机变量 $X ~ B (8, \frac{1}{4})$ ，则 $D (2 X + 3) = 3$ D、线性回归模型中，相关系数r的值越大，则这两个变量线性相关性越强

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12. 下列命题中，正确的命题是（）

A、已知随机变量服从二项分布 $B (n, p)$ ，若 $E (x) = 30$ ， $D (x) = 20$ ，则 $p = \frac{2}{3}$ B、已知 $A_{n}^{3} = C_{n}^{4}$ ，则 $n = 27$ C、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0, 1)$ ，若 $P (ξ > 1) = p$ ，则 $P (- 1 < ξ < 0) = \frac{1}{2} - p$ D、某人在10次射击中，击中目标的次数为 $X$ ， $X ~ B (10, 0.8)$ ，则当 $X = 8$ 时概率最大.

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三、/span>､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.

13. 新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有 $\frac{3}{4}$ 的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{2}{3}$ ，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为.

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14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $- 1 \leq x + y \leq 4$ 且 $2 \leq x - y \leq 3$ ，则 $x + 3 y$ 的取值范围是.

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15. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.3，0.5，0.6．飞机被一人击中而落地的概率为0.2，被两人击中而落地的概率为0.8，若三人都击中，飞机必定被击落．则飞机被击落的概率为．

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16. 某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1；乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.25，则这20个人的视力的方差为.

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四、/span>､解答题（本题共有六道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. 已知集合 $A = {x ∣ 2 x - 1 ⩽ 5}, B = {x ∣ 2 a - 1 < x < a + 3}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18. 设函数 $f (x) = x^{2} - a x + b$ .

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 ${x | 2 < x < 3}$ ，求不等式 $b x^{2} - a x + 1 > 0$ 的解集；

(2)、当 $b = 3 - a$ 时，对任意的 $x \in (- 1 ， 0]$ 都有 $f (x) \geq 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 小强5次考试的数学与物理成绩（满分100分）如下表，由散点图可知，小强的数学成绩x与物理成绩y之间线性相关.
数学成绩x
67
68
70
72
73
物理成绩y
64
63
66
65
67
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x$

(1)、求y关于x的线性回归方程；

(2)、利用（1）中的回归方程，小强第6次考试数学成绩是78分，请估计小强的物理分数．

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20. 某市随机抽取 $n$ 名市民进行智能手机使用情况调查，使用5G手机（A类）和使用4G及以下或不使用手机（B类）的人数占总人数 $n$ 的比例统计如下表：

A类
B类
大于或等于60岁
$10 %$
$15 %$
小于60岁
$45 %$
$30 %$
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

(1)、若用样本的频率作为概率的估计值，在全体市民中任选3人，记 $ξ$ 为3人中小于60岁的人数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(2)、若以60岁为年龄分界，讨论当 $n$ 取不同值时，依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否判断使用手机类型与年龄有关？
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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21. 为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位： $μ m$ ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ .
参考数据： $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ ， $0.997 4^{10} \approx 0.9743$ ， $0.997 4^{4} \approx 0.99$ ， $0.954 4^{3} \approx 0.87$ ， $0.026 \times 0.997 4^{9} \approx 0.0254$ ， $0.045 6^{2} \approx 0.002$ ， $\sqrt{35.2} \approx 5.9330$ .

(1)、假设生产状态正常，记 $X$ 表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在 $(μ - 3 σ ， μ + 3 σ)$ 之外的零件数，求 $P (X \geq 2)$ 及 $X$ 的数学期望；

(2)、某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：
①计算这一天平均值 $μ$ 与标准差 $σ$ ；
②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位： $μ m$ ）：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？

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22. 为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成 $[6 ， 10)$ ， $[10 ， 14)$ ， $[14 ， 18)$ ， $[18 ， 22)$ ， $[22 ， 26]$ 这5组，并得到如下频率分布直方图：

(1)、估计全班同学的平均进球个数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2)、现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在 $[10 ， 14)$ ， $[14 ， 18)$ ， $[22 ， 26]$ 内的同学中抽取8人进行培训，再从中抽取3人做进一步培训．
（ⅰ）记这3人中进球个数在 $[14 ， 18)$ 的人数为X ，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率．

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	A类	B类
大于或等于60岁	$10 %$	$15 %$
小于60岁	$45 %$	$30 %$

$x$	0	1	3	4
$y$	$2.2$	$4.3$	$4.8$	$6.7$

数学成绩x	67	68	70	72	73
物理成绩y	64	63	66	65	67

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828