安徽省皖江名校联盟2024届高三下学期4月模拟数学试题

试卷更新日期：2024-04-17 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知复数 $z = - \frac{2 + i}{i}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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2. 已知集合 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {x | x > a}$ ， $A ∩ (∁_{R} B) = A$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a \leq 1$ C、 $a \geq 3$ D、 $a \leq 3$

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3. 已知 $m$ 是直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列正确的命题是（）

A、若 $m ∥ β$ ， $α ∥ β$ ，则 $m ∥ α$ B、若 $m ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ∥ α$ C、若 $m ∥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ α$ D、若 $m ∥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $α ⊥ β$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = n^{2} + 1$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = a_{2}$ ， $b_{2} = a_{5}$ ，若 $b_{10} = a_{m}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{3^{10} + 1}{2}$ B、 $\frac{3^{10} - 1}{2}$ C、 $\frac{3^{9} + 1}{2}$ D、 $\frac{3^{9} - 1}{2}$

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5. 已知 ${(x - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（）

A、第5项 B、第6项 C、第7项 D、第8项

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6. 已知函数 $f (x) = | a^{x - 1} - \frac{1}{a} | - 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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7. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $a s i n A + c (s i n A + s i n C) = 2 s i n B$ ，若 $b = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知函数 $y = f (x) (x \neq 0)$ 满足 $f (x y) = f (x) + f (y) - 1$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) < 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、若 $f (2 x + 1) > 1$ ，则 $- 1 < x < 0$ C、若 $f (2) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (1024) = - 4$ D、若 $f (\frac{1}{2}) = 2$ ，则 $f (\frac{1}{1024}) = 10$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图，则（）

A、 $A = \sqrt{3}$ B、函数 $f (x + \frac{π}{3})$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、函数 $f (x + \frac{π}{3})$ 在 $(0, \frac{π}{4})$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 有4个极值点

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10. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 4 \sqrt{7}$ .经过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左右两支分别交于 $P$ ， $Q$ ，且 $△ P Q F_{2}$ 为等边三角形，则（）

A、双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{20} = 1$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$ C、以 $Q F_{1}$ 为直径的圆与以实轴为直径的圆相交 D、以 $Q F_{2}$ 为直径的圆与以实轴为直径的圆相切

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ ， $Q$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}$ ， $B_{1} C$ 上的动点，则（）

A、四面体 $P Q A B$ 的体积为定值 B、四面体 $P Q A_{1} D$ 的体积为定值 C、四面体 $P Q A C$ 的体积最大值为 $\frac{1}{3}$ D、四面体 $P Q A D$ 的体积最大值为 $\frac{1}{6}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 一组样本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位数是．

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13. 已知抛物线 $y = a x^{2}$ 的焦点 $F$ ，直线 $l$ 过 $F$ 与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $A (4, 4)$ ，则直线 $l$ 的方程为， $△ O A B$ 的面积为（ $O$ 为坐标原点）．

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14. 已知函数 $f (x) = (x - 1) s i n x + (x + 1) c o s x$ ，当 $x \in [0, π]$ 时 $f (x)$ 的最大值与最小值的和为．

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四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 10 x + 3 f^{'} (1) l n x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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16. 为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选3名同学进行乒乓球单打比赛，3场比赛每人参加一场比赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0。据统计可知甲班3名参赛学生的情况如下表：
学生
$A$
$B$
$C$
获胜概率
0.4
0.6
0.8
获胜积分
6
5
4

(1)、求甲班至少获胜2场的概率；

(2)、记甲班获得积分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望．

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17. 将正方形 $A B C D$ 绕直线 $A B$ 逆时针旋转 $90 °$ ，使得 $C D$ 到 $E F$ 的位置，得到如图所示的几何体．

(1)、求证：平面 $A C F ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、点 $M$ 为 $\overset{⌢}{D F}$ 上一点，若二面角 $C - A M - E$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求 $∠ M A D$ ．

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18. 已知点 $P$ 在椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的外部，过点 $P$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ．

(1)、①若点 $A$ 坐标为 $(x_{1}, y_{1})$ ，求证：直线 $P A$ 的方程为 $\frac{x_{1} x}{4} + \frac{y_{1} y}{2} = 1$ ；
②若点 $P$ 的坐标为 $(x_{0}, y_{0})$ ，求证：直线 $A B$ 的方程为 $\frac{x_{0} x}{4} + \frac{y_{0} y}{2} = 1$ ；

(2)、若点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上，求 $△ P A B$ 面积的最大值．

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，利用公式 ${\begin{array}{l} x^{'} = a x + b y \\ y^{'} = c x + d y \end{array}$ ①（其中 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 为常数），将点 $P (x, y)$ 变换为点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 组成的正方形数表 $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array})$ 唯一确定，我们将 $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array})$ 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 $A$ ， $B$ ， …表示．

(1)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将点 $P (3, 4)$ 绕原点 $O$ 按逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得到点 $P^{'}$ （到原点距离不变），求点 $P^{'}$ 的坐标；

(2)、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将点 $P (x, y)$ 绕原点 $O$ 按逆时针旋转 $α$ 角得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ （到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；

(3)、向量 $\vec{O P} = (x, y)$ （称为行向量形式），也可以写成 $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array})$ ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为： $(\begin{array}{l} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array})$ ，则称 $(\begin{array}{l} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$ 是二阶矩阵 $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array})$ 与向量 $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array})$ 的乘积，设 $A$ 是一个二阶矩阵， $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 是平面上的任意两个向量，求证： $A (\vec{m} + \vec{n}) = A \vec{m} + A \vec{n}$ ．

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学生	$A$	$B$	$C$
获胜概率	0.4	0.6	0.8
获胜积分	6	5	4