广西南宁市武鸣区2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-17 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.

1. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 2 ， b = 3 ， s i n A = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n B =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

查看试题解析
2. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

查看试题解析
3. 已知平面向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 1, λ)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b})$ $∥$ $\vec{a}$ ，则 $λ =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

查看试题解析
4. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2, \vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，则 $(\vec{a} + 3 \vec{b}) \cdot \vec{a} =$ （）

A、-2 B、2 C、-4 D、4

查看试题解析
5. $△ A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，已知 $a = \sqrt{5}, c = 2, c o s A = \frac{2}{3}$ 则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

查看试题解析
6. 已知 $a$ 为实数，复数 $z = (a - 2 i) (1 + i) + i$ 为纯虚数，则 $a =$ （）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

查看试题解析
7. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为平面向量，其中 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2, \vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $| \vec{b} - 2 \vec{a} | =$ （）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

查看试题解析
8. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知 $A B = B C = C D = 2, A B ⊥ B C, A C ⊥ C D$ ，若 $\vec{D B} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

查看试题解析

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选不得分.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.

9. 如图， $D, E, F$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A B, B C, C A$ 的中点，则 $\vec{A F} - \vec{D B}$ 等于（）

A、 $\vec{F D}$ B、 $\vec{E C}$ C、 $\vec{B E}$ D、 $\vec{D F}$

查看试题解析
10. 下列关于复数 $z = 1 - \sqrt{3} i$ 的说法中正确的有（）

A、复数 $z$ 的虚部为 $\sqrt{3}$ B、复数 $z$ 的共轭复数是 $1 + \sqrt{3} i$ C、复数 $z$ 的模是4 D、复数 $z$ 对应的点在第四象限

查看试题解析
11. 下列命题中，不正确的是（）

A、 $1 - a i (a \in R)$ 是一个复数 B、形如 $a + b i (b \in R)$ 的数一定是虚数 C、两个复数一定不能比较大小 D、若 $a > b$ ，则 $a + i > b + i$

查看试题解析
12. 若三个平面两两相交，有三条交线，则下列说法不正确的是（）

A、三条交线为异面直线 B、三条交线两两平行 C、三条交线交于一点 D、二条交线两两平行或交于一点

查看试题解析

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，点 $M$ 满足 $\vec{B M} = λ \vec{B C} (0 < λ < 1)$ ，若 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ ，则 $λ$ 的值为.

查看试题解析
14. 已知向量 $\vec{a} = (2, m), \vec{b} = (n, 3)$ ，若 $\vec{a} = 2 \vec{b}$ ，则 $m + n =$ .

查看试题解析
15. 如图，平行四边形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是四边形 $O A B C$ 的直观图.若 $O^{'} A^{'} = 3, O^{'} C^{'} = 2$ ，则原四边形 $O A B C$ 的周长为.

查看试题解析
16. 中国象棋中规定马走“日”，象走“田”.如图，在中国象棋的半个棋盘（ $4 \times 8$ 的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在 $A$ 处，则可跳到 $A_{1}$ 处，也可跳到 $A_{2}$ 处，用向量 $\vec{A A_{1}}, \vec{A A_{2}}$ 表示马走了“一步”.若马在 $B$ 或 $C$ 处，则以 $B, C$ 为起点表示马走了“一步”的向量共有个.

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ， $\vec{a} = (1 ， 2)$ .

(1)、若 $\vec{b} = (0 ， 1)$ ，求 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ 的值；

(2)、若 $\vec{b} = (2 ， m)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 共线，求实数m的值.

查看试题解析
18. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $6 0^{∘}, | \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2$ .

(1)、求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的值；

(2)、求 $k$ 为何值时，向量 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 相互垂直.

查看试题解析
19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边上一点， $A B = 2$ ， $B C = 5$ ， $A C = \sqrt{19}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $3 C D = 2 B D$ ，求 $A D$ 和 $\sin ∠ D A B$ .

查看试题解析
20. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = 4, B C = 6$ .

(1)、若 $A = \frac{2 π}{3}, C = \frac{π}{3}$ ，求 $s i n ∠ B D C$ 的值；

(2)、若 $C D = 2, c o s A = 3 c o s C$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积.

查看试题解析
21. 如图所示，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C, A E ⊥$ 平面 $P B C, E$ 为垂足.求证：

(1)、 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、当 $E$ 为 $△ P B C$ 的垂心时，求证： $△ A B C$ 是直角三角形.

查看试题解析
22. 在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、从三棱锥 $P - A B C$ 中选择合适的两条棱填空.若 $⊥$ ，则该三棱锥为“鳖臑”.

(2)、已知三棱锥 $P - A B C$ 是一个“鳖臑”，且 $A C = 1, A B = 2, ∠ B A C = 6 0^{∘}$ .
①若 $△ P A C$ 上有一点 $D$ ，如图①所示，试在平面 $P A C$ 内作出一条过点 $D$ 的直线 $l$ ，使得 $l$ 与 $B D$ 垂直，说明作法，并给予证明；
②若点 $D$ 在线段 $P C$ 上，点 $E$ 在线段 $P B$ 上，如图②所示，且 $P B ⊥$ 平面 $E D A$ ，证明 $∠ E A B$ 是平面 $E A D$ 与平面 $B A C$ 的二面角的平面角.

查看试题解析