上海市青浦区2024届高三下学期4月学业质量调研数学试卷

试卷更新日期：2024-04-17 类型：月考试卷

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1. 不等式 $| x - 2 | > 1$ 的解集为．

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，则 $< \vec{a}, \vec{b} > =$ ．

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3. 已知复数 $z = \frac{5 i}{1 - i}$ ，则 $I m z =$ ．

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4. ${(\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的二项展开式中的常数项为．

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5. 设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, 1)$ ，若 $P (ξ < a - 3) = P (ξ > 1 - 2 a)$ ，则实数 $a =$ ．

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6. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $a =$ ．

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7. 已知直线 $l_{1}$ 的倾斜角比直线 $l_{2} : y = x t a n 80 °$ 的倾斜角小 $20 °$ ，则 $l_{1}$ 的斜率为．

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8. 已知 $f (x) = l g x - 1$ ， $g (x) = l g x - 3$ ，若 $| f (x) | + | g (x) | = | f (x) + g (x) |$ ，则满足条件的 $x$ 的取值范围是．

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9. 对于函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = {\begin{cases} {(x - 1)}^{3}, 0 ≤ x < 2, \\ \frac{2}{x}, x ≥ 2 \end{cases}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k x$ 有两个不同的零点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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10. 从 $1, 2, 3, 4, 5$ 中任取 $2$ 个不同的数字，设“取到的 $2$ 个数字之和为偶数”为事件 $A$ ， “取到的 $2$ 个数字均为奇数”为事件 $B$ ，则 $P (B | A) =$ ．

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11. 如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深 $8 c m$ ，上口宽 $6 c m$ ，若以 $30 c m^{3} / s$ 的速度匀速往杯中注水，当水深为 $4 c m$ 时，酒杯中水升高的瞬时变化率 $v =$ $c m / s$

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12. 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P 、 Q 、 R$ 在棱 $A B 、 B C 、 B B_{1}$ 上，且 $P B = \frac{1}{2}, Q B = \frac{1}{3}, R B = \frac{1}{4}$ ，以△ $P Q R$ 为底面作一个三棱柱 $P Q R - P_{1} Q_{1} R_{1}$ ，使点 $P_{1}, Q_{1}, R_{1}$ 分别在平面 $A_{1} A D D_{1} 、 D_{1} D C C_{1} 、 A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上，则这个三棱柱的侧棱长为．

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二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13. 函数 $y = 3 x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的最小值是 $($ $)$ ．

A、 $4$ B、 $5$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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14. 已知点 $P (2, 2 \sqrt{2})$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，点 $P$ 到 $C$ 的准线的距离为 $d$ ， $M$ 是 $x$ 轴上一点，则“点 $M$ 的坐标为 $(1, 0)$ ”是“ $d = | P M |$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件，

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15. 设 $S_{n}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公比为 $q$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{2023} < S_{2025} < S_{2024}$ ，则（）．

A、 $a_{1} > 0$ B、 $q > 0$ C、 $| S_{n} | ≤ | a_{1} |$ D、 $| S_{n} | < | q |$

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16. 如图，已知直线 $y = k x + m$ 与函数 $y = f (x) ， x \in (a, b)$ 的图象相切于两点，则函数 $y = f (x) - k x$ 有（）．

A、2个极大值点，1个极小值点 B、3个极大值点，2个极小值点 C、2个极大值点，无极小值点 D、3个极大值点，无极小值点

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三、解答题（本大题共有5题,满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.

17. 对于函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 \sqrt{3} c o s^{2} x - \sqrt{3}$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调增区间；

(2)、在锐角三角形 $A B C$ 中，若 $f (A) = 1$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \sqrt{2}$ ，求△ $A B C$ 的面积．

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18. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 是所有棱长均为 $2$ 的直三棱柱， $D 、 E$ 分别是棱 $A B$ 和棱 $A A_{1}$ 的中点．

(1)、求证：平面 $B_{1} C D ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求二面角 $B_{1} - C D - E$ 的余弦值大小．

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19. 垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：

男生
女生
总计
A等级
40
20
60
B等级
20
20
40
总计
60
40
100

(1)、根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平 $α = 0.05$ ）？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ， $P (χ^{2} ≥ 3.841) \approx 0.05$ ．

(2)、为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢 $3$ 局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为 $\frac{2}{3}$ ，主持人B提问甲赢的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问．
（i）求比赛只进行3局就结束的概率；
（ii）设 $X$ 为结束比赛时甲赢的局数，求 $X$ 的分布和数学期望 $E [X]$ ．

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20. 已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为其左、右焦点．

(1)、求 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的坐标和双曲线 $Γ$ 的渐近线方程；

(2)、如图， $P$ 是双曲线 $Γ$ 右支在第一象限内一点，圆 $C$ 是△ $P F_{1} F_{2}$ 的内切圆，设圆与 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ ， $F_{1} F_{2}$ 分别切于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，当圆 $C$ 的面积为 $4 π$ 时，求直线 $P F_{2}$ 的斜率；

(3)、是否存在过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $E$ 的左右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点，且使得 $∠ F_{1} A B = ∠ F_{1} B A$ ，若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由．

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21. 若无穷数列 ${a_{n}}$ 满足：存在正整数 $T$ ，使得 $a_{n + T} = a_{n}$ 对一切正整数 $n$ 成立，则称 ${a_{n}}$ 是周期为 $T$ 的周期数列．

(1)、若 $a_{n} = s i n (\frac{π n}{m} + \frac{π}{3})$ （其中正整数m为常数， $n \in N, n ≥ 1$ ），判断数列 ${a_{n}}$ 是否为周期数列，并说明理由；

(2)、若 $a_{n + 1} = a_{n} + s i n a_{n} (n \in N, n ≥ 1)$ ，判断数列 ${a_{n}}$ 是否为周期数列，并说明理由；

(3)、设 ${b_{n}}$ 是无穷数列，已知 $a_{n + 1} = b_{n} + s i n a_{n} (n \in N, n ≥ 1)$ ．求证：“存在 $a_{1}$ ，使得 ${a_{n}}$ 是周期数列”的充要条件是“ ${b_{n}}$ 是周期数列”．

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	男生	女生	总计
A等级	40	20	60
B等级	20	20	40
总计	60	40	100