重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期4月月考试题数学

试卷更新日期：2024-04-17 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} \cdot 10} e^{- \frac{{(x - 80)}^{2}}{200}} (x \in R)$ ，则下列命题中不正确的是（）

A、分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 B、该市这次考试的数学平均成绩 $μ$ 为80分 C、该市这次考试的数学成绩的标准差 $σ$ 为10 D、可以简记为：数学成绩服从正态分布 $N (80 ， 10)$

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2. 若有4名游客要到某地的3个旅游景点去旅游，则不同的安排方法数为（）

A、4 B、64 C、24 D、81

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3. 已知某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁．若开关第一次闭合后出现红灯的概率为 $\frac{1}{2}$ ，两次闭合后都出现红灯的概率为 $\frac{1}{6}$ ，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. $1 - 2 C_{n}^{1} + 4 C_{n}^{2} - 8 C_{n}^{3} + ⋯ + {(- 2)}^{n} C_{n}^{n} =$ （）.

A、1 B、－1 C、(－1)ⁿ D、3ⁿ

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5. 已知 ${(m x + 1)}^{n}$ 的展开式中，二项式系数和为 $32$ ，各项系数和为 $243$ ，则 $m =$ （）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $- 2$ D、 $- 3$

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6. 某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为 $\frac{3}{5}$ ，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为 $\frac{1}{4}$ ．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（）

A、 $\frac{3}{20}$ B、 $\frac{8}{43}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.

A、420 B、600 C、720 D、780

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8. 重庆市高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A ， B^＋， B ， C^＋， C ， D^＋， D ， E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果某次高考模拟考试地理科目的原始成绩 $X \sim N (50,256)$ ，那么D等级的原始分最高大约为（）
附：①若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ， $Y = \frac{X - μ}{σ}$ ，则 $Y ∼ N (0, 1)$ ；
②当 $Y \sim N (0,1)$ 时， $P (Y \leq 1.5) \approx 0.9$ .

A、23 B、29 C、26 D、43

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9. 抛掷两颗骰子各一次，记第一颗骰子掷出的点数与第二颗骰子掷出的点数的差为X ，则“ $X > 3$ ”表示的试验的结果有（）

A、第一颗为5点，第二颗为1点 B、第一颗大于4点，第二颗也大于4点 C、第一颗为6点，第二颗为1点 D、第一颗为6点，第二颗为2点

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10. 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数正确的是（）

A、排成前后两排，前排3人，后排4人，共有 $A_{7}^{3} \times A_{4}^{4}$ 种方法 B、全体排成一排，男生互不相邻，共有 $A_{3}^{3} \times A_{4}^{4}$ 种方法 C、全体排成一排，女生必须站在一起，共有 $A_{4}^{4} \times A_{4}^{4}$ 种方法 D、全体排成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边，共有 $A_{6}^{2} \times A_{5}^{5}$ 种方法

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11. 某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”， $B$ 表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标 $ξ$ 服从正态分布 $N (5.40, 0.0 5^{2})$ ，现从中随机抽取 $M$ 个，这 $M$ 个芯片中恰有 $m$ 个的质量指标 $ξ$ 位于区间 $(5.35, 5.55)$ ，则下列说法正确的是（）（若 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0.6826, P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9974$ ）

A、 $P (B | A) > P (B)$ B、 $P (A | B) < P (A | \bar{B})$ C、 $P (5.35 < ξ < 5.55) \approx 0.84$ D、 $P (m = 45)$ 取得最大值时， $M$ 的估计值为53

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知 ${(x + \frac{2}{x})}^{n}$ 的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为.

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13. ${(1 + \sqrt{2})}^{5} + {(1 - \sqrt{2})}^{5} =$ .

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14. 方程 $a y = b^{2} x^{2} + c$ 中的 $a, b, c \in {- 3, - 2, 0, 1, 2, 3}$ ，且 $a, b, c$ 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有条．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知各项均不为0的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1} + 1}{4}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若对于任意 $n \in N^{*}$ ， $2^{n} \cdot λ \geq S_{n}$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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16. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} (2 + \frac{1}{x} + a l n x)$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f (e) = e^{2 e - 1}$ ，求a的值，并求出 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a > 0$ ， $g (x) = f (x) \cdot e^{- 2 x}$ ，求 $g (x)$ 最小值的最大值．

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17. 已知 $f_{n} (x) = {(1 + x)}^{n}$ .

(1)、若 $g (x) = f_{6} (x) + 2 f_{7} (x) + 3 f_{8} (x)$ ，求 $g (x)$ 中含 $x^{6}$ 项的系数；

(2)、若 $f_{2024} (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{2024} x^{2024}$ ，求 $a_{1} + a_{3} + ⋯ + a_{2021} + a_{2023}$ 的值；

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18. 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由 $n (n \geq 3, n \in N^{*})$ 位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知 $A$ 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{2}$ ，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.

(1)、若 $n = 3$ ，用 $X$ 表示 $A$ 团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求 $X$ 的均值；

(2)、记 $A$ 团队第 $k (1 \leq k \leq n - 1, k \in N^{*})$ 位成员上场且闯过第二关的概率为 $p_{k}$ ，集合 ${k \in N^{*} | p_{k} < \frac{3}{128}}$ 中元素的最小值为 $k_{0}$ ，规定团队人数 $n = k_{0} + 1$ ，求 $n$ .

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19. 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数 $n$ 都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式： $n = p_{1}^{r_{1}} p_{2}^{r_{2}} \cdot \cdot \cdot p_{k}^{r_{k}}$ （ $k$ 为 $n$ 的质因数个数， $p_{i}$ 为质数， $r_{i} \geq 1, i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, k$ ），例如： $90 = 2 \times 3^{2} \times 5$ ，对应 $k = 3, p_{1} = 2, p_{2} = 3, p_{3} = 5, r_{1} = 1, r_{2} = 2, r_{3} = 1$ ．现对任意 $n \in N^{*}$ ，定义莫比乌斯函数 $μ (n) = {\begin{array}{l} 1, n = 1 \\ {(- 1)}^{k}, r_{1} = r_{2} = \cdot \cdot \cdot = r_{k} = 1 \\ 0, 存在 r_{i} > 1 \end{array}$

(1)、求 $μ (78), μ (375)$ ；

(2)、若正整数 $x, y$ 互质，证明： $μ (x y) = μ (x) μ (y)$ ；

(3)、若 $n > 1$ 且 $μ (n) = 1$ ，记 $n$ 的所有真因数（除了1和 $n$ 以外的因数）依次为 $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{m}$ ，证明： $μ (a_{1}) + μ (a_{2}) + \cdot \cdot \cdot + μ (a_{m}) = - 2$ ．

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重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期4月月考试题 数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期4月月考试题数学