湖北省十堰市茅箭区第一教联体2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-16 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 要使二次根式 $\sqrt{x - 8}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、x>8 B、x<8 C、x≤8 D、x≥8

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2. 下列各式计算正确的是（）

A、 $8 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = 6$ B、 $5 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} = 10 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{2} = 8 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{3} \div 2 \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$

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3. 下列各组数中能构成直角三角形的是（）

A、4，5，6 B、 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{4}$ ， $\sqrt{5}$ C、4，5， $\sqrt{41}$ D、5，12，10

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4. 如图，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（）

A、（3，1） B、（-4，1） C、（1，-1） D、（-3，1）

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5. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（）．

A、2.4m B、2m C、2.5m D、2.7m

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6. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C + A B = 10$ 尺， $B C = 4$ 尺，求AC的长.则AC的长为（）

A、4.2尺 B、4.3尺 C、4.4尺 D、4.5尺

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7. 如图， $R t △ A D C$ ， $R t △ B C E$ 与 $R t △ A B C$ 按如图方式拼接在一起， $∠ A C B = ∠ D A C = ∠ E C B = 90 °$ ， $∠ D = ∠ E = 45 °$ ， $S_{△ A D C} + S_{△ B C E} = 128$ ，则 $A B$ 的值为（）

A、 $16$ B、 $32$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{2}$

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8. 如图， $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O ， $O E ⊥ B D$ 交 $A D$ 于点E ，连接 $B E$ ，若 $▱ A B C D$ 的周长为28，则 $Δ A B E$ 的周长为（）

A、28 B、24 C、21 D、14

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9. 阅读下列材料：若一个任意三角形的三边长分别为a ， b ， c ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ $，$ 则这个三角形的面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．古希腊的数学家海伦给出了这个公式的证明，这一公式称为海伦公式．若在海伦公式中， $a = 4$ ， $b = 5$ ， $c = 7$ ，则 $S =$ （）

A、10 B、 $2 \sqrt{3}$ C、6 D、 $4 \sqrt{6}$

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10. 在 $R t △ A B C$ 中， $A C = B C$ ，点D为 $A B$ 中点， $∠ G D H = 90 °$ ， $∠ G D H$ 绕点D旋转， $D G, D H$ 分别与边 $A C$ ， $B C$ 交于E ， F两点，下列结论：① $A E + B F = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ ；② $A E^{2} + B F^{2} = E F^{2}$ ；③ $S_{四边形 C E D F} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ；④ $△ D E F$ 始终为等腰直角三角形，其中正确的是（）

A、①②④ B、①②③ C、③④ D、①②③④

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．

11. 计算： $\sqrt{{(- 2)}^{2}}$ ＝．

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12. 当 $x = \sqrt{23} - 1$ 时，代数式 $x^{2} + 2 x + 2001$ 的值是．

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13. 如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是cm ．

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14. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E在 $A D$ 上，且 $E C$ 平分 $∠ B E D$ ，若 $∠ E B C = 30 °$ ， $B E = 10$ ，则 $▱ A B C D$ 的面积为.

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 13$ ， $A C = 5$ ， P是 $A B$ 边上一动点，将 $△ P B C$ 沿 $P C$ 折叠，点B落在 $B^{'}$ 处， $B^{'} C$ 交 $A B$ 于D ，则 $B^{'} D$ 的最大值为．

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三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．

16. 计算：

(1)、 $\sqrt{20} + \sqrt{5} (2 + \sqrt{5})$

(2)、 $(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) - | - \sqrt{3} | - {(- \sqrt{2})}^{2}$

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17. 先化简，再求值： $(\frac{y}{x - y} - \frac{y^{2}}{x^{2} - y^{2}})$ ÷ $\frac{x}{x y + y^{2}}$ ，其中x＝ $\sqrt{3}$ +1，y＝ $\sqrt{3}$ ﹣1．

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A E ⊥ B D$ ， $C F ⊥ B D$ ，垂足分别为点 $E$ ， $F$ .

(1)、请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形 $A E C F$ 为平行四边形，你添加的条件是；

(2)、添加了条件后，证明四边形 $A E C F$ 为平行四边形.

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19. 请运用平行四边形特征按下列要求作图：

(1)、如图1， $▱ A B C D$ 中，点E在 $A D$ 上，在 $B C$ 上画点F ，使 $C F = A E$ ；

(2)、如图2， $A F ∥ D E ∥ B C$ ， $C D ∥ E F ∥ A B$ ，画一条直线平分此多边形的面积．

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20. 如图，有两只猴子在一棵树 $C D$ 高 $5 m$ 的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树 $10 m$ 处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？

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21. 在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF.

(1)、求证：四边形DEBF是平行四边形；

(2)、若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长.

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22. 如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F ．

(1)、求证：四边形BDFC是平行四边形；

(2)、若BC＝BD ，求四边形BDFC的面积．

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23.

(1)、问题背景：在 $△ A B C$ 中， $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 三边的长分别为 $\sqrt{5}, \sqrt{10}, \sqrt{13}$ ，求这个三角形的面积．小刚同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点 $△ A B C$ （即 $△ A B C$ 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求 $△ A B C$ 的高，借用网格就能计算出它的面积．
请你将 $△ A B C$ 的面积直接填写在横线上：．

(2)、思维拓展：我们把上述求 $△ A B C$ 面积的方法叫作构图法，若 $△ A B C$ 中， $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 三边的长分别为 $\sqrt{5} a, 2 \sqrt{2} a, \sqrt{17} a$ ，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 $△ A B C$ ，其中顶点A的位置如图所示．①求出 $△ A B C$ 的面积；②直接写出顶点B到 $A C$ 的距离（用含a的式子表示）．

(3)、探索创新：若 $△ A B C$ 三边长分别为 $\sqrt{m^{2} + 16 n^{2}}, \sqrt{9 m^{2} + 4 n^{2}}, 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}}$ （ $m > 0 ， n > 0$ ，且 $m \neq n$ ），请直接写出这个三角形的面积（用含m ， n的式子表示）．

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24. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D为 $A B$ 中点，点E在直线 $B C$ 上（点E不与点B ， C重合），连接 $D E$ ，过点D作 $D F ⊥ D E$ 交直线 $A C$ 于点F ，连接 $E F$ ．

(1)、如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段 $E F$ 与 $B E$ 的数量关系：．

(2)、如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段 $A F$ ， $E F$ ， $B E$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、若 $A C = 5$ ， $B C = 3$ ， $E C = 1$ ，请直接写出线段AF的长．

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