广东省深圳市蛇口育才教育集团2024年中考一模数学试题

试卷更新日期：2024-04-16 类型：中考模拟

进入出卷网下载

一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用2B铅笔填涂在答题卡上）

1. 实数 $P$ 在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数 $P$ 小的是（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $\sqrt{2}$

查看试题解析
2. 积木有助于开发智力，有利于数学概念的早期培养．某积木配件如图所示，则它的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
3. 人才是深圳城市发展的重要基因，深圳人才公园是全国第一个人才主题公园，占地面积约 $770000$ 平方米．数据 $770000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.77 \times 1 0^{4}$ B、 $7.7 \times 1 0^{5}$ C、 $77 \times 1 0^{5}$ D、 $7.7 \times 1 0^{6}$

查看试题解析
4. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
5. 下列运算正确的是（）

A、 $5 a - 2 a = 3 a^{2}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(b + 1)}^{2} = b^{2} + 1$ D、 ${(- 2 a)}^{3} = - 8 a^{3}$

查看试题解析
6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 $O$ 的光线相交于点 $P$ ，点 $F$ 为焦点．若 $∠ 1 = 155 ° ， ∠ 2 = 30 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $50 °$ C、 $55 °$ D、 $60 °$

查看试题解析
7. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面 $A B C D$ 是梯形，其中 $A D ∥ B C$ ， $A B = D C$ ，燕尾角 $∠ B = α$ ，外口宽 $A D = a$ ，榫槽深度是 $b$ ，则它的里口宽 $B C$ 为（）

A、 $\frac{b}{t a n α} + a$ B、 $\frac{2 b}{t a n α} + a$ C、 $b t a n α + a$ D、 $2 b t a n α + a$

查看试题解析
8. 明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若 $3$ 人一组，每组 $5$ 个杏，则多 $10$ 个杏．若 $4$ 人一组，每组 $8$ 个杏，则多 $2$ 个杏．有多少个牧童，多少个杏？设共有 $x$ 个牧童，则下列方程正确的是（）

A、 $3 \times 5 x + 10 = 4 \times 8 x + 2$ B、 $\frac{x}{3} \times 5 + 10 = \frac{x}{4} \times 8 - 2$ C、 $\frac{x}{3} \times 5 + 10 = \frac{x}{4} \times 8 + 2$ D、 $\frac{x}{3} \times 5 - 10 = \frac{x}{4} \times 8 - 2$

查看试题解析
9. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 8$ ，点 $E$ 在 $B C$ 边上，连接 $E A$ ， $E A = E C$ ．将线段 $E A$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ ，点 $E$ 的对应点为点 $F$ ，连接 $C F$ ，则 $c o s ∠ A C F$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

查看试题解析
10. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 1 (a \neq 0)$ 经过点 $(- 1, m)$ 、 $(1, n)$ 和 $(3, p)$ ，若在 $m$ ， $n$ ， $p$ 这三个实数中，只有一个是正数，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a \leq - \frac{1}{3}$ B、 $a < - 1$ C、 $- \frac{1}{3} < a < 0$ D、 $- 1 \leq a < 0$

查看试题解析

二、填空题（本题有5小题，每题3分，共15分，把答案填在答题卡上）

11. 因式分解 $2 x^{2} - 4 x + 2$ = ．

查看试题解析
12. “每天一节体育课”成深圳中小学生标配．某校九年级三班随机抽取了 $10$ 名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下： $7 ， 11 ， 10 ， 11 ， 6 ， 14 ， 11 ， 10 ， 11 ， 9$ ．则这组数据的中位数为．

查看试题解析
13. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ， B ， C均在小正方形的顶点上，且点D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上， $∠ B C D = 30 °$ ，则 $\overset{⌢}{A D}$ 的长为．

查看试题解析
14. 如图，在平面直角坐标系中，等腰 $△ A B C$ 的底边 $B C$ 在 $x$ 轴的正半轴上，顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像上，延长 $A B$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，若 $O C = 4 O B$ ， $△ B O D$ 的面积为 $\frac{2}{3}$ ，则 $k$ 的值为．

查看试题解析
15. 如图，在正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上取一点 $E$ ，使得 $A E = 2 C E$ ，连接 $B E$ ，将 $△ B C E$ 沿 $B E$ 翻折得到 $△ B F E$ ，连接 $D F$ ．若 $B C = 4$ ，则 $D F$ 的长为．

查看试题解析

三、解答题（本题共7小题，共55分）

16. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - 2 c o s 45 ° + \sqrt{8} - {(π + 2024)}^{0}$ ．

查看试题解析
17. 先化简 $(1 + \frac{1}{x - 2}) \div \frac{2 x - 2}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，再从不等式组 $- 1 \leq x < 3$ 中选择一个适当的整数，代入求值．

查看试题解析
18. 科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础。某学校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
请你根据以上信息解决下列问题：

(1)、参加问卷调查的学生人数为 $50$ 名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）；

(2)、在扇形统计图中，选择“创客”课程的学生占 $%$ ，所对应的圆心角度数为；

(3)、若该校八年级一共有 $1000$ 名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？

查看试题解析
19. 某社区采购春节慰问礼品，购买了甲、乙两种类型的粮油套装．甲种粮油套装单价比乙种粮油套装单价多 $30$ 元，用 $1200$ 元购买甲种粮油套装和用 $900$ 元购买乙种粮油套装的数量相同．

(1)、求甲、乙两种粮油套装的单价分别是多少元？

(2)、社区准备再次购买甲种和乙种粮油套装共 $40$ 件，购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的 $3$ 倍，且商家给出了两种粮油套装均打八折的优惠．问购买甲种和乙种粮油套装各多少件时花费最少？最少花费是多少元？

查看试题解析
20. 如图，在 $△ A B C$ 中，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $A C$ 、 $B C$ 于点 $D$ 、 $E$ ，过点 $D$ 作 $D G ⊥ B C$ 于点 $G$ ，交 $B A$ 的延长线于点 $H$ ．

(1)、下列条件：
① $D$ 是 $A C$ 边的中点；
② $D$ 是 $\overset{⌢}{A E}$ 的中点；
③ $B A = B C$ ．
请从中选择一个能证明直线 $H G$ 是 $⊙ O$ 的切线的条件，并写出证明过程；

(2)、若直线 $H G$ 是 $⊙ O$ 的切线，且 $H A = 2$ ， $H D = 4$ ，求 $C G$ 的长．

查看试题解析
21. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），科研人员测量出小钢球离地面高度 $h$ （米）与其运动时间 $t$ （秒）的几组数据如下表：
运动时间 $t$ （秒）
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$⋯$
离地面高度 $h$ （米）
$0$
$35$
$60$
$75$
$80$
$75$
$60$
$⋯$

(1)、在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接：科研人员发现，小钢球离地面高度 $h$ （米）与其运动时间 $t$ （秒）成二次函数关系，请求出 $h$ 关于 $t$ 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．

(2)、在弹射小钢球的同一时刻，无人机开始保持匀速竖直上升，无人机离地面高度 $h_{1}$ （米）与小钢球运动时间 $t$ （秒）之间的函数关系式为 $h_{1} = 5 t + 30$ ．
$①$ 在小钢球运动过程中，当无人机高度不大于小钢球高度时，无人机可以采集到某项相关性能数据，则能采集到该性能数据的时长为_▲_秒；
$②$ 弹射器间隔 $3$ 秒弹射第二枚小钢球，其飞行路径视为同一条抛物线．当两枚小钢球处于同一高度时，求此时无人机离地面的高度．

查看试题解析
22. 如图1，菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = α$ ， $B C = 2$ ， $E$ 是边 $B C$ 上一动点（不与点 $B, C$ 重合），连接 $D E$ ，点 $C$ 关于直线 $D E$ 的对称点为 $C^{'}$ ，连接 $A C^{'}$ 并延长交直线 $D E$ 于点 $P, F$ 是 $A C^{'}$ 的中点，连接 $D C^{'}, D F$ ．

(1)、填空： $D C^{^{'}} =$ ， $∠ A P D =$ （用含 $α$ 的代数式表示）；

(2)、如图2，当 $α = 90 °$ ，题干中其余条件均不变，连接 $B P$ ．求证： $B P = \sqrt{2} A F$ ．

(3)、（2）的条件下，连接 $A C$ ．
①若动点 $E$ 运动到边 $B C$ 的中点处时， $△ A C C^{'}$ 的面积为．
②在动点 $E$ 的整个运动过程中， $△ A C C^{'}$ 面积的最大值为．

查看试题解析

运动时间 $t$ （秒）	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$⋯$
离地面高度 $h$ （米）	$0$	$35$	$60$	$75$	$80$	$75$	$60$	$⋯$