云南省昭通市绥江县2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-16 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）

1. 下列各式中属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{36}$ C、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ D、 $\sqrt{0.5}$

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2. 下列运算，结果正确的是（）

A、 $\sqrt{7} - \sqrt{5} = \sqrt{2}$ B、 $3 + \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{4} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = 3$

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3. 下列二次根式中，可与 $\sqrt{2}$ 进行合并的二次根式为（）

A、 $\sqrt{32}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{27}$ D、 $\sqrt{75}$

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4. 估计 $\sqrt{7} + 1$ 的值应在（）

A、2和3之间 B、3和4之间 C、4和5之间 D、5和6之间

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5. 若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（）

A、 $a = 3$ ， $b = 4$ ， $c = 5$ B、 $a = 6$ ， $b = 8$ ， $c = 10$ C、 $a = 1$ ， $b = 1$ ， $c = \sqrt{2}$ D、 $a = \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{4}$ ， $c = \sqrt{5}$

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6. 若 $\sqrt{{(x - 3)}^{2}} = 3 - x$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 3$ B、 $x \geq 3$ C、 $x < 3$ D、 $x \leq 3$

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7. 把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）

A、5倍 B、4倍 C、3倍 D、2倍

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8. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 1 : 2$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $B C^{2} + A B^{2} = A C^{2}$ B、 $A B^{2} = 2 B C^{2}$ C、 $A C = B C$ D、 $∠ C = 90 °$

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9. 化简 ${(\sqrt{2} - 1)}^{2016} \cdot {(\sqrt{2} + 1)}^{2017}$ 的结果为（）

A、 $- \sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $- 1$

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10. 如果 $y = \sqrt{1 - 2 x} + \sqrt{2 x - 1}$ ，则 $x - y$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、0

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11. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（）

A、10 B、10或 $2 \sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{7}$ 或 $\sqrt{10}$

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以 $△ A B C$ 的各边为边在 $△ A B C$ 外作三个正方形， $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 分别表示这三个正方形的面积，若 $S_{1} = 5$ ， $S_{2} = 15$ ，则 $S_{3}$ 的值是（）

A、5 B、8 C、10 D、16

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13. 若点 $P$ 在边长为2等边三角形 $A B C$ 的边 $A C$ 上移动，则 $B P$ 的最小值是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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14. 如图，长方形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 18$ ，将此长方形纸片折叠，使点 $D$ 与点 $B$ 重合，点 $C$ 落在点 $H$ 的位置，折痕为 $E F$ ，则 $△ A B E$ 的面积为（）

A、6 B、18 C、24 D、48

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15. 如图，正方体盒子的棱长为4， $A B$ 中点为 $M$ ，一只蚂蚁从点 $M$ 沿正方体的表面爬到点 $C^{'}$ ，蚂蚁爬行的最短距离是（）

A、10 B、 $2 \sqrt{13}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4 + 2 \sqrt{5}$

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二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）

16. 代数式 $\frac{\sqrt{3 x - 9}}{x - 2}$ 有意义的条件是．

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17. 计算 $\sqrt{\frac{1}{4}} \times \sqrt{16}$ 的结果为．

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18. 如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第2013个三角形的面积为．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ， $A D = 2$ ，则 $△ A B C$ 边 $B C$ 上的高为．

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三、解答题（本大题共8小题，共62分）

20. 计算：

(1)、 $(\sqrt{48} - 4 \sqrt{\frac{1}{8}}) - (\sqrt{12} - \sqrt{2})$

(2)、 $\sqrt{7} \times \sqrt{21} + (4 \sqrt{2} - 14 \sqrt{6}) \div 2 \sqrt{2}$

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21. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} b + a b^{2}} \div (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} - 1)$ ，其中 $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ．

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22. 如图，一架长 $5 m$ 的梯子 $A B$ 斜靠在墙 $A C$ 上，墙面垂直于地面，此时，梯子的底端 $B$ 离墙底 $C$ 的距离 $B C$ 为 $4 m$ ．

(1)、求此时梯子的顶端 $A$ 距地面的高度 $A C$ ；

(2)、如果梯子的顶端 $A$ 下滑了 $1 m$ ，那么梯子的底端 $B$ 在水平方向上向右滑动了多远？

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23. 已知 $x = 1 + \sqrt{2}$ ， $y = 1 - \sqrt{2}$ ，求下列代数式的值：

(1)、 ${(x - y)}^{2} + 4 x y$ ；

(2)、 $x^{2} - y^{2}$ ．

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24. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = C B = C D = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $∠ B C D$ 的度数；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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25. 如图，四边形 $A B C D$ 中，已知 $A D = 5$ ， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ， $C D = 3 \sqrt{5}$ ， $D E = 3$ ，且 $D E ⊥ A C$ ，求 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上的高．

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26. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.

(1)、已知CD=2cm，求AC的长；

(2)、求证：AB=AC+CD.

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27. 阅读下列材料，然后回答问题。
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ ， $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： $\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ （一）
$\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \times 3}{3 \times 3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ （二）
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$ （三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ （四）

(1)、直接写出化简结果：（1） $\frac{1}{\sqrt{2}} =$ ；（2） $\sqrt{\frac{3}{5}} =$ ．

(2)、请选择适当的方法化简： $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ．

(3)、化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}$ ．

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