湖南省衡阳市石鼓区田家炳实验中学2023-2024学年高三下学期3月测试数学试题

试卷更新日期：2024-04-16 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合A= ${x \in N | 1 \leq 2_{}^{x - 1} \leq 4},$ 则集合B= ${m | m = l o g_{a}^{} b, a, b \in A},$ 的元素个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 已知 $t a n θ$ = $\sqrt{3}$ ， $θ$ 为第三象限角.复数 $z = c o s (\frac{3}{2} π + θ) + i s i n (π - θ)$ .则 $\frac{z}{\bar{z}}$ 的值为（）

A、 $i$ B、 $1 + i$ C、 $- i$ D、 $1 - i$

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3. 抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 为二次函数 $y = x_{}^{2} + 1$ 的顶点. $M$ 为 $C$ 上点， $M$ 到直线 $y = - 2$ 的距离为 $d$ 且 $| M F | + 1 = d$ .则 $C$ 上点 $N (- 2, k)$ 到 $l$ 距离为（）

A、3 B、2 C、k+1 D、k+2

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4. 条件 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件是

A、函数 $y = f (x)$ 定义域为 $A$ . $p$ ： $f^{'}$ 在A上成立. $q$ ： $y = f (x)$ $为增函数$ B、 $p$ ： $\forall x \in R, x_{}^{2} - 3 x + a > 0$ 成立. $q$ ： $a + \frac{1}{a - 2}$ 最小值为4. C、p：函数 $f (x) = 24 a x_{}^{2} + 4 x - 1$ 在区间（-1，1）恰有一个零点.q： $- \frac{1}{8} < a < \frac{1}{4}$ D、p：函数 $f (x) = c o s 2 x c o s ϕ + s i n 2 x s i n ϕ$ 为偶函数（ $x \in R$ ）.q： $ϕ = k π (k \in$ $z$ )

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5. 某统计数据共有11个样本 $x_{i}^{} (i = 1, 2, . ., 11)$ .它们依次成公差 $d$ =2的等差数列。若第60%位数为25.则它们的平均数为( )

A、25 B、19 C、21 D、23

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6. 空间四边形 $A B C D$ 中 $E, F, G, H$ 分别为 $A B, A D, C D, C B$ 上点（不含端点），四边形 $E F G H$ 为平面四边形且其法向量为 $\vec{n}$ ，下列论述错误项为（）

A、 $\overset{\leftrightarrow}{B D} • \overset{\leftrightarrow}{n} = 0$ ，则 $B D$ //面 $E F G$ B、 $\overset{\leftrightarrow}{E F} = \overset{\leftrightarrow}{H G}$ ， $则 A C / / 面 E F G$ C、 $\overset{\leftrightarrow}{E F} • \overset{\leftrightarrow}{H G} = 0 ， \overset{\leftrightarrow}{E F} ∥ \overset{\leftrightarrow}{H G}$ ，则四边形 $E F G H$ 为矩形 D、 $\overset{\leftrightarrow}{B D} • \overset{\leftrightarrow}{A C} = 0, \overset{\leftrightarrow}{E F} = \overset{\leftrightarrow}{H G}$ ，则四边形 $E F G H$ 为矩形

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7. 已知 $Δ$ $A B C$ 中， $A 、 B 、 C$ 对应边分别为 $a 、 b 、 c$ 。其周长为 $p$ ， $p$ = $2 \sqrt{3} (\sin A + \sin B + \sin C)$ ， $a = 3$ 且 $a > b > c$ . $D$ 为 $B C$ 上点， $\vec{A D} • \vec{D C} = 4, \vec{A D} • \vec{D B} = - 2$ . $Δ$ $A B D$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则p的值为（）

A、 $\sqrt{21} + 3$ B、 $2 \sqrt{5} + 3$ C、 $\sqrt{23} + 3$ D、 $2 \sqrt{6} + 3$

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8. 2024年韩国釜山举行世界乒乓球团体锦标赛。男团比赛规则，各单位每次比赛双方选取三人出场比赛。每场比赛采用5局3胜制，以先赢3场者为胜方，赛前双方用抽签方法选定主、客队。如主队3名选手出场依次为A、B、C；客队3名选手出场依次定为X、Y、Z，规定：5场比赛的次序为① $A 对 X$ ， ② $B 对 Y$ ， ③ $C 对 Z$ ， ④ $B 对$ X，⑤ $A 对 Z$ .已知某次比赛甲方为主队，乙方为客队.甲方参赛队员为 $A_{i}$ ，乙方为 $B_{i}$ （ $i = 1 、 2 、 3$ ）根据以往经验，甲方各位队员赢乙方队员概率如下表

$A_{1}$

$A_{2}$

$A_{3}$

$B_{1}$

$0.62$

$0.59$

$0.75$

$B_{2}$

$0.43$

$0.65$

$0.62$

$B_{3}$

$0.26$

$0.43$

$0.53$
了解到乙队出场比赛队员依次为 $B_{2} ， B_{1} ， B_{3}$ .甲方对乙方出场顺序有四种预案：（一） $A_{1} ， A_{2} ， A_{3}$ ；（二） $A_{3} ， A_{1} ， A_{2}$ ；（三） $A_{2} ， A_{3} ， A_{1}$ ；（四） $A_{1} ， A_{3} ， A_{2}$ ；以本次比赛甲赢的概率比较，应选定哪种方案（）

A、(一) B、(三) C、(二) D、(四)

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二、多选题（本大题共3小题,共18分.全部选对的得6分；部分选对的得部分分,有选错的得0分）

9. $已知函数 f (x) = \{\begin{matrix} a x - 1, x \leq 2 \\ {(\frac{1}{2})}^{x - 1}, x > 2 \end{matrix}$ .则下列说法正确的是（）

A、 $f (f (3)) = 2, 则 a = 12$ B、 $a = 1, f (x) 的值域为 (0 ， \frac{1}{2})$ C、 $若 g (x) = f (x) - b 有 2 个零点（a > 0），当 0 <$ b $< \frac{1}{2} 则 a > \frac{3}{4}$ . D、若 $g (x) = {\begin{cases} f (x), x \leq 2 \\ f (x) + 4 a, x > 2 \end{cases}}$ 在 $R$ 上单调递减， $a$ 的取值范围为 $(- \infty, - \frac{3}{4}$ ]

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10. 如图，长方体ABCD中AB=3，AD= 1，EF、GH将它分成3个小正方形下列讨论正确的是（）

A、若 $∠ B A H = α ， ∠ B A C = β ，$ 则 $α + β = \frac{π}{4}$ B、若P为长方形ABCD内动点， $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ $（ λ 、 μ 为常数）则 λ 、 μ$ 满足0< $9 λ^{2} + μ^{2} < 10$ C、若P在线段AC上（不包括端点），则 $\vec{P H} • \vec{A H}$ 取值范围为 $(0 ， 7)$ . D、 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + \vec{A D}$ ，若 $\frac{1}{3} < λ < \frac{1}{2}$ .则P在正方形 $E F G H$ 内.

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11. 正方体的棱长为 $2 \sqrt{2}$ ，平面展开图为图①.M、P分别为棱与面对角线中点.则下列说法正确的是（）

A、 $N P ⊥ 面 M P Q$ B、 $M N ⊥ P Q$ C、 $Q 到面 M N P 的距离为 \frac{\sqrt{17}}{2}$ D、 $三棱锥 Q - M N P 的外接球的必切于正方体一个面$

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三、填空题（本大题共3小题,每小题5分共15分）12.二项式的展开式中第5项系数最大，则它的展开式中常数项为（以数字作答）.

12. 二项式 ${(x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，只有第5项系数最大，则常数项为.

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13. 已知 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2}) ，$ f（0） = $\frac{1}{2}$ 且 f（x）在[0 ， $\frac{π}{3}$ ]单调递增，[ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{2}$ ]上单调递减，则 ω =.

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14. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b >$ 0 $)$ . $F_{1} 、 F_{2}$ 分别为左、右焦点。过 $F_{1}$ 的直线 l交双曲线右支为A，以AF₁为直径的圆交右支另一点为B，且AB过F₂ ，当 $\vec{A F_{2}} = 2 \vec{F_{2} B}$ 则双曲线离心率为.

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四、解答题（本大题共5小题,共77分）

15. $\{a_{n}\}$ 为公差 d∈Z且d＞-5的等差数列．a₅=16．S_n 为它的前n项和， {S_n}最大项为S₈ ． {b_n}满足 $b_{n} = 2^{\frac{S_{n}}{2 n} - 17}$ .

(1)、求{a_n}与{b_n}的通项公式；

(2)、若C_n=|a_nb_n|，求{C_n}前2024项和．

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16. 如图，在四面体A-BCD中，AD⊥面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上BC⊥CD，且BC=CD=2.

(1)、若AQ=3QC．求证：PQ∥平面BCD；

(2)、二面角A-BC-D为45°，求二面角A-BC-M的余弦值；

(3)、若三棱锥A-BCM的体积为1，求三棱锥A-BCD外接球的体积．

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17. 为了研究不同性别学生与患色盲的关系，在男、女学生各取100名进行调查.统计的列联表如下.
男女合计
色盲 6 3 9
非色盲 94 97 191
合计 100 100 200
从这200名学生随机抽取 1人．

(1)、求抽取的1人患色盲的概率？

(2)、根据小概率值 $α$ =0.05独立性检验来分析性别与患色盲是否有关？

(3)、从患色盲样本中依次抽取2人.记X为每次抽取女生的人数，求X的分布列与期望.
（ $α$ 与 $x_{α}^{}$ 对应值见下表. ， $n = a + b + c + d)$
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}^{}$
2.706
3.841
6.635

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18. 已知椭圆C： $\frac{x_{}^{2}}{a_{}^{2}} +$ $\frac{y_{}^{2}}{b_{}^{2}}$ =1（ $a > b > 0$ ）.F₁（-c，0）、F₂（c，0）为其左、右焦点.P为C上点. $∠$ F₁PF₂= $θ$ .当 $θ$ = $\frac{2 π}{3}$ ， $Δ$ F₁PF₂面积最大.

(1)、求椭圆C的离心率值.

(2)、过P与椭圆C相切的切线方程为x-y- $\sqrt{5}$ =0.求椭圆C的方程.

(3)、在（2）中，P（1， $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ ）.过P的直线 $l$ 交C的另一点Q.A为C的左顶点.求 $Δ$ APQ面积的最大值.

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19. 已知f(x)= $a l n x - \frac{1}{x}$ ， g(x)=2- $\frac{l n x}{a x l n x - 1}$ .

(1)、讨论f(x)的零点个数.

(2)、是否存在 $a$ 使f(x) $•$ g(x)有极大值？若存在，求出 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$
$B_{1}$	$0.62$	$0.59$	$0.75$
$B_{2}$	$0.43$	$0.65$	$0.62$
$B_{3}$	$0.26$	$0.43$	$0.53$

	男	女	合计
色盲	6	3	9
非色盲	94	97	191
合计	100	100	200

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}^{}$	2.706	3.841	6.635

湖南省衡阳市石鼓区田家炳实验中学2023-2024学年高三下学期3月测试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、多选题（本大题共3小题,共18分.全部选对的得6分；部分选对的得部分分,有选错的得0分）

三、填空题（本大题共3小题,每小题5分共15分）12.二项式的展开式中第5项系数最大，则它的展开式中常数项为 （以数字作答）.

四、解答题（本大题共5小题,共77分）

三、填空题（本大题共3小题,每小题5分共15分）12.二项式的展开式中第5项系数最大，则它的展开式中常数项为（以数字作答）.