湖南省衡阳市蒸湘区2024年中考一模数学试题

试卷更新日期：2024-04-16 类型：中考模拟

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一、选择题（每小题3分，10小题共30分，每小题只有一个正确答案）

1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{4}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{8}$

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2. 我市某一周的最高气温统计如下表：则这组数据的中位数与众数分别是（）
最高气温（℃）
25
26
27
28
天数
1
1
2
3

A、27，28 B、27.5，28 C、28，27 D、26.5，27

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3. 已知点 $A$ 是 $⊙ O$ 外一点，且 $⊙ O$ 的半径为 $6$ ，则 $O A$ 的长可能为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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4. 某学校每年抽出资金购买书籍用于扩充图书室．已知2021年该校用于购买图书的费用为10000元，2023年用于购买图书的费用增加到14400元．设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为x ，据题意可列方程为（）

A、 $10000 (1 + x)^{2} = 14400$ B、 $10000 (1 + 2 x) = 14400$ C、 $10000 (1 + x) \cdot 2 = 14400$ D、 $10000 (1 + x^{2}) = 14400$

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5. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子 $A B$ 的长为10米，梯子与地面形成的夹角为 $∠ B A C = 41 °$ ，则墙的高度 $B C$ 为（）

A、 $10 c o s 41 °$ 米 B、 $10 s i n 41 °$ 米 C、 $\frac{10}{c o s 41 °}$ 米 D、 $\frac{10}{s i n 41 °}$ 米

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6. 如图，点D在 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上，若要添加一个条件使得 $△ A D B ∽ △ A B C$ ，则下列条件中不能满足要求的是（）

A、 $∠ A B D = ∠ C$ B、 $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D B}$ C、 $∠ A D B = ∠ A B C$ D、 $\frac{A D}{A B} = \frac{A B}{A C}$

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7. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，E为边 $C D$ 上一点， $A E 、 B D$ 交于点O ，若 $S_{△ D O E} : S_{△ B O A} = 4 : 9$ ，则 $D E : A D$ 等于（）

A、 $4 : 9$ B、 $2 : 3$ C、 $1 : 3$ D、 $3 : 2$

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8. 已知抛物线 $y = (x - 1)^{2} + 2$ ，下列结论中错误的是（）

A、抛物线的开口向上 B、抛物线的对称轴为直线 $x = 1$ C、当 $x < 1$ 时，y随x的增大而减小 D、将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式为 $y = (x + 1)^{2} + 5$

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9. 如图是二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 和一次函数 $y_{2} = k x + t$ 的图象，当 $y_{1} < y_{2}$ 时，x的取值范围是（）

A、 $x < - 1$ B、 $x > 2$ C、 $- 1 < x < 2$ D、 $x < - 1$ 或 $x > 2$

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10. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3, B C = 5$ ，点P是 $B C$ 边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将 $△ P C D$ 沿直线 $P D$ 折叠，使点C落在点 $C_{1}$ 处；作 $∠ B P C_{1}$ 的平分线交 $A B$ 于点E ．设 $B P = x, B E = y$ ，那么y关于x的函数图象大致应为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（每小题3分，8小题，共24分）

11. 若二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是

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12. 已知 $\frac{x}{y} = \frac{5}{2}$ ，那么 $\frac{x + y}{y} =$ ．

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13. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点．若DE=3，则BC= ．

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14. 一个底面半径是 $8 c m$ ，母线长为 $9 c m$ 的圆锥的侧面积为．

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15. 如图，河堤横断面迎水坡 $B C$ 的坡比是 $1 : \sqrt{3}$ ，堤高 $A C = 5 m$ ，则坡面 $B C$ 的长度是．

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16. 如图，线段 $A B$ 两个端点的坐标分别为 $A (3, 3) 、 B (4, 1)$ ，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段 $A B$ 放大到原来的2倍后得到线段 $C D$ ，则端点C的坐标为．

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17. 如图，点A、B、C、D都在 $⊙ O$ 上， $O A ⊥ B C ， ∠ C D A = 25 °$ ，则 $∠ A O B =$ $°$ ．

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18. 在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系 $y = - \frac{1}{16} x^{2} + \frac{5}{8} x + \frac{3}{2}$ ，则小康这次实心球训练的成绩为．

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三、解答题（8小题，共66分）

19. 解方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$

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20. 计算： $(- 1)^{2023} - | \sqrt{8} - 3 | + c o s 45 ° - \sqrt{6} \times \sqrt{3}$ ．

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21. 随着移动互联网的迅猛发展，人们购物的支付方式更加多样、便捷．某商场想了解顾客支付方式的选择情况，设计了一份问卷进行调查，要求被调查者选择且只选择一种最喜欢的支付方式．现将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请结合图中所给出的信息，解答下列问题：

(1)、扇形统计图中 $m =$ ， “其他”支付方式所对应的圆心角为度；

(2)、小明早上买早餐，若只能一种支付方式，刚好选择现金支付的概率为；

(3)、甲乙两人到商场购物，请用列表或画树状图的方法，求出两人恰好都选择微信支付的概率．

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22. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 m + 5 = 0$ 有两个实数根 $x_{1} 、 x_{2}$ ，并且 $x_{1} \neq x_{2}$ ．

(1)、求实数m的取值范围；

(2)、满足 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} = m^{2} + 6$ ，求m的值．

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23. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织二次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为 $A \to B \to C \to A$ ． B点在A点的南偏东 $25 °$ 方向 $3 \sqrt{2} k m$ 处，C点在A点的北偏东 $80 °$ 方向，行进路线 $A B$ 和 $B C$ 所在直线的夹角 $∠ A B C$ 为 $45 °$ ．

(1)、求行进路线 $B C$ 和 $C A$ 所在直线的夹角 $∠ B C A$ 的度数；

(2)、求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，以边 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 经过点C ， E是 $⊙ O$ 上的一点，且 $∠ B E C = 45 °$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B E = 8 c m, s i n ∠ B C E = \frac{4}{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

(3)、在（2）的条件下，求阴影部分的面积．（结果保留π）

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25. 矩形 $A B C D$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B、C在x轴上， $A D$ 交y轴于点E ，连接 $O A$ ，线段 $O C 、 O B$ 的长是方程 $x^{2} - 11 x + 18 = 0$ 的两个根 $(O C > O B)$ ．

(1)、求点B、C的坐标；

(2)、点F在边 $C D$ 上，且F点的纵坐标是3，连接 $O F$ ，过点F作直线 $F G ⊥ O F$ ，交 $A D$ 于点G ，若矩形 $A B C D$ 的面积等于66，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的一个分支过点G ，求k的值；

(3)、在（2）的条件下，在直线 $F G$ 上并且在直线 $C D$ 的右侧是否存在点P ，使得以O、F、P为顶点的三角形与 $△ A O B$ 相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 定义：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

图① 图②

(1)、如图①，矩形 $A B C D$ 的顶点坐标分别是 $A (- 1, 2), B (- 1, - 1), C (3, - 1), D (3, 2)$ ，在点 $M_{1} (1, 1), M_{2} (2, 2), M_{3} (3, 3)$ 中，是矩形 $A B C D$ “梦之点”的是；

(2)、如图②，已知点A、B是抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{9}{2}$ 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接 $A C 、 A B 、 B C$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q ，使得以 $A B$ 为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

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最高气温（℃）	25	26	27	28
天数	1	1	2	3