2024年人教版初中数学八年级下学期期中重难点训练 04 矩形

试卷更新日期：2024-04-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10 cm，则矩形的面积为（）

A、12 cm² B、24 cm² C、48 cm² D、60 cm²

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2. 面积为 $9 a^{2} - 6 a b + 3 a$ 的长方形一边长为 $3 a ，$ 另一边长为（）

A、 $3 a - 2 b + 1$ B、 $2 a - 3 b$ C、 $2 a - 3 b + 1$ D、 $3 a - 2 b$

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3. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（）

A、AD=AB B、AB⊥AD C、AB=AC D、CA⊥BD

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4. 一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB=90°，D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1，7，则CD=（）

A、3.5cm B、3cm C、4.5cm D、6cm.

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5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 相交于点O ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B C$ 于点E ，若 $∠ C A E = 15 °$ ，则 $∠ B O E$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $75 °$ C、 $72 °$ D、 $90 °$

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6. 如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（）

A、 $56 m^{2}$ B、 $66 m^{2}$ C、 $72 m^{2}$ D、 $96 m^{2}$

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7. 如图，矩形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且 $A E = \frac{1}{3} A B, B F = \frac{1}{3} B C, C G =$ $\frac{1}{3} C D, D H = \frac{1}{3} D A$ ，若矩形ABCD面积为9，则四边形EFGH的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = \sqrt{2} A B$ ， $∠ B A D$ 的平分线交 $B C$ 于点 $E$ ． $D H ⊥ A E$ 于点 $H$ ，连接 $B H$ 并延长交 $C D$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ 交 $B F$ 于点 $O$ ，下列结论：
① $A D = A E$ ；① $∠ A E D = ∠ C E D$ ；③ $O E = O D$ ；④ $B H = H F$ ；⑤ $B C - C F = 2 H E$ ，
其中正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

9. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 12$ ， $B C = 5$ ， D为斜边AB的中点，则CD的长是．

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高线， $C E$ 是 $A B$ 边上的中线， $D G ⊥ C E$ 于点G， $C D = A E$ ，若 $B D = 8$ ， $C D = 5$ ，则 $△ D C G$ 的面积是.

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11. 如图所示，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C M$ 是斜边 $A B$ 上的中线， $E 、 F$ 分别为 $M B 、 B C$ 的中点，若 $E F = 1$ ，则 $A B =$ ．

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12. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，M，N 分别为BC，OC 的中点，若MN=4，则AO 的长为

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13. 如图，已知▱ABCD的对角线 AC，BD 相交于点O，△AOB 是等边三角形，AB=4，则▱ABCD的面积为 .

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14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上(不与点A，B重合)，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连结EF．若AC=3，BC=2，则EF的最小值为.

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三、解答题

15. 已知一个长方形相邻的两边长分别是a ， b ，且 $a = \frac{1}{2} \sqrt{8}$ ， $b = \frac{1}{3} \sqrt{72}$ ；

(1)、求此长方形的周长；

(2)、若一个正方形的周长与上述长方形的周长相等，求此正方形的面积．

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16. 如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连结AE并延长交 DC 的延长线于点 F，连结 BF，AC.若AD=AF，求证：四边形ABFC 是矩形.

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17. 如图，在矩形ABCD 中，E，F分别是边 BC，AD 上的点，且AE=CF.

(1)、求证：△ABE≌△CDF.

(2)、当AC⊥EF时，四边形 AECF 是菱形吗? 请说明理由.

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四、实践探究题

18. 综合与实践
【问题情境】
如图1，有两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB=AC，AE=AF，∠BAC+∠EAF=180°.△AEF绕着A顺时针旋转，旋转角为 $α$ （ $0 ° \leq α < 180 °$ ），点M为BF的中点.
【特例感知】

(1)、如图1，当 $α = 0 °$ 时，AM和CE的数量关系是；

(2)、如图2，当 $α = 90 °$ 时，连接AM，CE，请判断AM和CE的数量关系，并说明理由；

(3)、【深入探究】
如图3，当 $α$ 为任意锐角时，连接AM，CE，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

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19. 【操作】如图①，在矩形 $A B C D$ 中，E为对角线 $A C$ 上的一点（不与点A重合）．将 $△ A D E$ 沿射线 $A B$ 方向平移到 $△ B C F$ 的位置，点E的对应点为点F，易证： $△ A D E ≌ △ B C F$ （不需要证明）；
【探究】过图①的点E作 $E G ∥ B C$ ，交 $F B$ 的延长线于点G，连接 $A G$ ，其他条件不变，如图②．求证： $△ E G A ≌ △ B C F$ ；
【拓展】将图②中的 $△ B C F$ 沿 $B C$ 翻折得到 $△ B C F^{'}$ ，连接 $G F^{'}$ ，其他条件不变，如图③．当 $G F^{'}$ 最短时，若 $A B = 4$ ， $B C = 2$ ，直接写出四边形 $B F C F^{'}$ 的周长．

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五、综合题

20. 已知：如图，线段AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，点E，F分别是AB和CD的中点，

求证：

(1)、CE=DE，

(2)、EF⊥CD．

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21. 如图所示，在 $▱ A B C D$ 中，E，F分别为边 $A B$ ， $D C$ 的中点，连接 $E D$ ， $E C$ ， $E F$ ，作 $C G ∥ D E$ ，交 $E F$ 的延长线于点G，连接 $D G$ ．

(1)、求证：四边形 $D E C G$ 是平行四边形；

(2)、当 $E D$ 平分 $∠ A D C$ 时，求证：四边形 $D E C G$ 是矩形．

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