2024年人教版初中数学八年级下学期期中重难点训练 02 勾股定理

试卷更新日期：2024-04-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（）

A、 $- \sqrt{5}$ B、 $1 - \sqrt{5}$ C、 $- 1 + \sqrt{5}$ D、 $- 1 - \sqrt{5}$

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2. 若直角三角形一条直角边长为6，斜边长为10，则斜边上的高是（　　）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{24}{5}$ C、5 D、10

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3. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）

A、 $\sqrt{3}$ 、 $\sqrt{4}$ 、 $\sqrt{5}$ B、2、3、4 C、6、7、8 D、9、12、15

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4. 下列各组数中，属于勾股数的是（）

A、 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{5}{12}$ B、 $8$ ， $15$ ， $17$ C、 $3$ ， $4$ ， $6$ D、 $0.9$ ， $1.2$ ， $1.5$

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5. 如图所示，将一根 $24 c m$ 的筷子，置于底面直径为 $15 c m$ ，高 $8 c m$ 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度 $h c m$ ，则h的取值范围是（）

A、 $h \leq 17 c m$ B、 $h \geq 8 c m$ C、 $15 c m \leq h \leq 16 c m$ D、 $7 c m \leq h \leq 16 c m$

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6. 如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为 $a$ ，长直角边长为 $b$ ，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则 $a b$ 的值是（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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7. 如图，是利用一把直尺和一块三角尺ABC摆放并移动后得到的图形，其中 $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A_{1} C_{1} B_{1} = 30 °$ ， $A C = 8$ ，点A对应直尺的刻度为12，将该三角尺沿直尺边缘平移，使 $△ A B C$ 移动到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $A_{1}$ 对应直尺的刻度为0，则点C到 $A_{1} C_{1}$ 的距离是（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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8. 如图，点A，B，C在同一条直线上，点 $B$ 在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧， $A B < B C ， ∠ A = ∠ C = 9 0^{°} ， △ E A B ≅ △ B C D$ ，连接DE.设 $A B = a ， B C = b ， D E = c$ ，给出下面三个结论：
① $a + b < c$ ；② $a + b > \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ；③ $\sqrt{2} (a + b) > c$ .
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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二、填空题

9. 有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．

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10. 若一个直角三角形的两条边的长分别为8、10，则第三条边的长是．

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11. 如图，在5×5的网格中，每个格点小正方形的边长均为△ABC的三个顶点A ， B ， C都在网格点的位置上，则△ABC的边AC上的高为．

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12. 如图，有一台救火飞机沿东西方向 $A B$ ，由点 $A$ 飞向点 $B$ ，已知点 $C$ 为其中一个着火点，已知 $A B = 500 m$ ， $A C = 300 m$ ， $B C = 400 m$ ，飞机中心周围 $260 m$ 以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为 $\frac{14 m}{s}$ ，则着火点 $C$ 受到洒水影响秒 $.$

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13. 如图，在 $△ A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以三边为直径向上作三个半圆 $.$ 若 $A B = 5$ ， $A C = 4$ ，则阴影部分图形的面积为．

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14. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，交 $A C$ 与点 $E$ ， $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，且交 $A D$ 于点 $G$ ，若 $A G = 2$ ， $B C = 12$ ，则 $A F =$ ．

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三、作图题

15. 如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．△ABC的三个顶点均在格点上．

(1)、画出△ABC关于直线MN对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求点C到直线 $A_{1} C_{1}$ 的距离。

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16. 如图①，图②，图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A均为格点.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法.

(1)、在图①中找一格点B ，连接AB ，使线段 $A B = \sqrt{5}$ ；

(2)、在图②中画出等腰 $△ A B C$ ，点B ， C在格点上，使 $∠ A$ 为顶角且 $S_{△ A B C} = 2$ ；

(3)、在图③中画出等腰 $△ A B C$ ，点B ， C在格点上，使 $∠ A$ 为顶角且腰长为5.

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四、解答题

17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ C = 90 °$ ， BD平分 $∠ A B C$ ， $A D = 3$ ， E为 $A B$ 上一点， $A E = 4$ ， $E D = 5$ ，求证： $A D = C D$ ．

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18. 如图①是学校某树木的实物图，该树木可抽象为如图②所示的图形，“奋进”小组开展了测量AB长度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，“奋进”小组设计了如下方案：

课题	测量AB的长度
成员	组长：××× 组员：×××，×××，×××
工具	竹竿，皮尺，计算器等
测量示意图		说明：AB垂直于地面，线段AD ， BE表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处
测量数据	测量项目	数值
	竹竿的长度	5米
	CD的长度	2.713米
	CE的长度	4.899米
参考数值	$2.71 3^{2} \approx 7.360$ ， $4.89 9^{2} \approx 24.000$ ， $\sqrt{17.64} = 4.2$

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19. 如图， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 上的一点，连接 $A D$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 的周长是 $32$ ， $C D = 6$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点，求 $A D$ 的长；

(2)、若 $B D = 9$ ， $A D = 12$ ， $A B = 15$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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五、实践探究题

20. 【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第49页B组的第12题和第13题.

12.已知 $a + b = 3 ， a b = 2$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值.

13.已知 $a - b = 1 ， a^{2} + b^{2} = 25$ ，求 $a b$ 的值.

【例题讲解】老师讲解了第12题的两种方法：

方法一

方法二

∵ $a + b = 3$ ，

∴ $(a + b)^{2} = 9$ .

∴ $a^{2} + b^{2} + 2 a b = 9$ .

∵ $a b = 2$ ，

∴ $a^{2} + b^{2} = 9 - 2 a b = 9 - 4 = 5$ .

∵ $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b$

∴ $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b$ .

∵ $a b = 2 ， a + b = 3$ ，

∴ $a^{2} + b^{2} = 9 - 4 = 5$ .

(1)、【方法运用】请你任选第12题的解法之一，解答教材第49页B组的第13题.

(2)、【拓展】如图，在

△ A B C

中，

∠ A C B = 90 °

，分别以

A C

、

B C

为边向其外部作正方形

A C D E

和正方形

B C F G

.若

A C + B C = 6

，正方形

A C D E

和正方形

B C F G

的面积和为18，求

△ A B C

的面积.

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