贵州省铜仁市万山区2024年第一次模拟考试中考一模数学模拟试题

试卷更新日期：2024-04-16 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1. 在 $- 3$ ， $- 7$ ， 0， $\frac{1}{9}$ 四个数中，最大的数是（）

A、 $- 3$ B、 $- 7$ C、 $\frac{1}{9}$ D、0

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2. 根据《全国文化文物和旅游统计调查制度》，结合第三方抽样调查结果初步测算，贵州省2023年国庆偎期累计接待旅客4708万人次，实现旅游收入 $314.73$ 亿元，请将4708万用科学记数法表示为（）

A、 $47.08 \times 1 0^{6}$ B、 $0.4708 \times 1 0^{8}$ C、 $4.7 \times 1 0^{7}$ D、 $4.708 \times 1 0^{7}$

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3. 某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“承”的对面是（）

A、传 B、承 C、文 D、色

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4. 既要金山银山，又要绿水青山，贵阳市深入践行习近平总书记重要指示精神，在抓经济大开发的同时，非常重视环境保护，经过多年的不懈努力，2023年十月贵阳市的空气质量在全国省会城市排名第六名，下面是贵阳市2023年10月份某5天的空气质量指数 $(A Q I)$ ：43，39，20，19，32，则这组数据的中位数是（）

A、32 B、20 C、39 D、34

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5. 下列计算正确的是（）

A、 ${(- 3 x)}^{2} = 9 x^{2}$ B、 $8 x + 2 x = 10 x^{2}$ C、 ${(x - 3)}^{2} = x^{2} - 9$ D、 $(x - 2 y) (x + 2 y) = x^{2} + 4 y^{2}$

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6. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）

A、 $A C = B D$ B、 $O A = O C$ C、 $A C ⊥ B D$ D、 $∠ A D C = ∠ B C D$

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7. 计算 $\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$ 的结果是（）

A、 $\frac{x}{x + 1}$ B、 $\frac{1}{x + 1}$ C、1 D、 $- 1$

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8. 为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为 $10 c m$ ，大圆半径为 $20 c m$ ，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{12}$

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9. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　）

A、 B、 C、 D、

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10. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（）

A、 $\frac{1}{2} (x + 4.5) = x - 1$ B、 $\frac{1}{2} (x + 4.5) = x + 1$ C、 $\frac{1}{2} (x + 1) = x - 4.5$ D、 $\frac{1}{2} (x - 1) = x + 4.5$

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11. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，若 $∠ C = 25 °$ ，则 $∠ B A O =$ （）

A、 $25 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $65 °$

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12. 如图，拋物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a ， b ， c$ 为常数）关于直线 $x = 1$ 对称．下列五个结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③ $4 a + 2 b + c > 0$ ；④ $a m^{2} + b m > a + b$ ；⑤ $3 a + c > 0$ ．其中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13. 因式分解：a²﹣3a=

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14. 若点 $A (- 3, y_{1})$ 、 $B (- 1, y_{2})$ 都在反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （选填“ $>$ ”或“ $<$ ”）．

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (5, - 1)$ 关于y轴对称的点的坐标是．

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16. 在平面直角坐标系中，点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 、 $A_{4}$ …在x轴的正半轴上，点 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $B_{3}$ …在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x (x \geq 0)$ 上．若点 $A_{1}$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，且 $△ A_{1} B_{1} A_{2}$ 、 $△ A_{2} B_{2} A_{3}$ 、 $△ A_{3} B_{3} A_{4}$ …均为等边三角形．则点 $B_{2024}$ 的纵坐标为．

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三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.

(1)、计算： $\sqrt{4} + 2 s i n 45 ° - {(π - 3)}^{0} + | \sqrt{2} - 2 |$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{cases} 2 (x + 2) - x \leq 5 ， ① \\ \frac{4 x + 1}{3} > x - 1 . ② \end{cases}$

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18. 2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓．引导学生爱该书．读好书，善读书，贵阳市某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查．将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．
等级
周平均读书时间t（单位：小时）
人数
A
$0 \leq t < 1$
4
B
$1 \leq t < 2$
a
C
$2 \leq t < 3$
20
D
$3 \leq t < 4$
15
E
$t \geq 4$
5
每个等级人数扇形统计图

(1)、求统计图表中 $a =$ ， $m =$ ．

(2)、已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为．

(3)、请写出一条你对读书的建议．

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19. 近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题备受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备．每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同．

(1)、求A种、B种设备每台各多少万元？

(2)、根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 的中点，E是 $A D$ 的中点，过点A作 $A F ∥ B C$ 交 $C E$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $A F = B D$ ；

(2)、连接 $B F$ ，若 $A B = A C$ ，求证：四边形 $A D B F$ 是矩形．

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21. 在直角坐标系中，已知 $k_{1} k_{2} \neq 0$ ，设函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ 与函数 $y_{2} = k_{2} (x - 2) + 5$ 的图象交于点 $A$ 和点 $B$ ．已知点 $A$ 的横坐标是2，点 $B$ 的纵坐标是 $- 4$ ．

(1)、求 $k_{1} ， k_{2}$ 的值．

(2)、过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，在第二象限交于点 $C$ ；过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线，在第四象限交于点 $D$ ．求证：直线 $C D$ 经过原点．

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22. 莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为 $3 m$ ，当摆角 $∠ B O C$ 恰为 $26 °$ 时，座板离地面的高度 $B M$ 为 $0.9 m$ ，当摆动至最高位置时，摆角 $∠ A O C$ 为 $50 °$ ，求座板距地面的最大高度为多少 $m$ ？（结果精确到 $0.1 m$ ；参考数据： $s i n 26 ° \approx 0.44$ ， $c o s 26 ° \approx 0.9$ ， $t a n 26 ° \approx 0.49$ ， $s i n 50 ° \approx 0.77$ ， $c o s 50 ° \approx 0.64$ ， $t a n 50 ° \approx 1.2$ ）

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23. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， A B$ 是⊙O的直径，过点C作 $⊙ O$ 的切线交AB的延长线于点 $D$ ， $B E ⊥ C D$ ， $E B$ 的延长线交 $⊙ O$ 于 $F ， C F$ 交 $A B$ 于点 $G$ ， $∠ B C F = ∠ B C D$ .

(1)、求证： $B E = B G$ ；

(2)、若 $B E = 1$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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24. 排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生在 $O$ 处将球垫偏，之后又在A、 $B$ 两处先后垫球，球沿抛物线 $C_{1} \to C_{2} \to C_{3}$ 运动（假设抛物线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 、 $C_{3}$ 在同一平面内），最终正好在 $O$ 处垫住， $O$ 处离地面的距离为1米．如图所示，以 $O$ 为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系， $x$ 轴平行于地面水平直线 $m$ ，已知点 $A (\frac{3}{2}, \frac{3}{8})$ ，点 $B$ 的横坐标为 $- \frac{3}{2}$ ，抛物线 $C_{1}$ 表达式为 $y = a x^{2} - 2 a x$ 和抛物线 $C_{3}$ 表达式为 $y = 2 a x^{2} + b x (a \neq 0)$ ．

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的函数表达式；

(2)、第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；

(3)、为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处 $B$ 离地面的高度至少为多少米？

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25. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C$ ， D是 $A B$ 边上一点，且 $\frac{A D}{B D} = \frac{1}{n}$ （n为正整数），E是 $A C$ 边上的动点，过点D作 $D E$ 的垂线交直线 $B C$ 于点F．

(1)、【初步感知】
如图1，当 $n = 1$ 时，兴趣小组探究得出结论： $A E + B F = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ ，请写出证明过程．

(2)、【深入探究】
如图2，当 $n = 2$ ，且点F在线段 $B C$ 上时，试探究线段 $A E ， B F ， A B$ 之间的数量关系，请写出结论并证明．

(3)、【拓展运用】
请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 $A E ， B F ， A B$ 之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．

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等级	周平均读书时间t（单位：小时）	人数
A	$0 \leq t < 1$	4
B	$1 \leq t < 2$	a
C	$2 \leq t < 3$	20
D	$3 \leq t < 4$	15
E	$t \geq 4$	5