湖南省长沙市长郡教育集团2024年中考一模数学试题

试卷更新日期：2024-04-16 类型：中考模拟

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. $- 2023$ 的倒数是（）

A、 $\frac{1}{2023}$ B、 $- \frac{1}{2023}$ C、2023 D、 $- 2023$

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2. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（）

A、 $1.5 \times 1 0^{5}$ B、 $0.15 \times 1 0^{5}$ C、 $1.5 \times 1 0^{6}$ D、 $1.5 \times 1 0^{7}$

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3. 计算 $\frac{2 b}{a - b} - \frac{2 a}{a - b}$ 的结果是（　　）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $0$ D、 $2 b - 2 a$

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4. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　）

A、2，4，7 B、3，3，6 C、5，8，2 D、4，5，6

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6. 为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（）

A、此次调查属于全面调查 B、样本容量是300 C、2000名学生是总体 D、被抽取的每一名学生称为个体

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $A C ， A B$ 于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径画弧，两弧交于点O，作射线 $A O$ ，交 $B C$ 于点E．已知 $C E = 3$ ， $A B = 6$ ， $△ A E B$ 的面积为（）

A、6 B、9 C、12 D、18

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8. 如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且 $a ∥ b, ∠ 1 = 55 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（　　）

A、 $35 °$ B、 $45 °$ C、 $55 °$ D、 $25 °$

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9. 关于一次函数 $y = - 2 x + 4$ ，下列说法不正确的是（）

A、图象不经过第三象限 B、y随着x的增大而减小 C、图象与x轴交于 $(- 2 ， 0)$ D、图象与y轴交于 $(0 ， 4)$

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10. A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，则进入前三强的三个人是（　　）

A、A，B，C B、B，C，D C、C，D，E D、D，E，A

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 分解因式： $x^{3} - 4 x$ =

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12. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 < \frac{x + 3}{2} \\ 2 x + 1 \geq 0 \end{array}$ 的解集是．

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13. 已知m是 $- 1$ ， 0，1，2，3中的一个数，则关于x的方程 $x^{2} - x + m = 0$ 有解的概率为．

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14. 如图，点A在反比例函数 $y = \frac{- 3}{x}$ 的图象上， $A B ⊥ x$ 轴，已知点B，C关于原点对称，则 $△ A B C$ 的面积为．

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15. 如图，在 $⊙ O$ 中， $C D$ 是直径，弦 $A B ⊥ C D$ ，垂足为E，若 $∠ C = 30 °$ ， $A B = 12 c m$ ，则 $⊙ O$ 的半径为 $c m$ ．

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16. 若扇形的圆心角为 $135 °$ ，半径为4，则它的弧长为．（结果保留π）

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三、解答题（本大题共9个小题，共72分）

17. 计算： $| 1 - \sqrt{2} | - 2 s i n 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 202 4^{0}$ ．

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18. 先化简，再求值： ${(a - b)}^{2} + (a + b) (a - b) - 2 a (a - 2 b)$ ，其中 $a = 2024 ， b = - 1$ ．

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19. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，小亮想测量某大厦楼顶上的一个广告牌 $C D$ 的高度，从与大厦 $B C$ 相距 $30 m$ 的A处观测广告牌顶部D的仰角 $∠ B A D = 30 °$ ，观测广告牌底部 $C$ 的仰角 $∠ B A C = 27 °$ ，如图所示．
（参考数据： $s i n 27 ° \approx 0.454 ， c o s 27 ° \approx 0.891 ， t a n 27 ° \approx 0.510 ， \sqrt{3} \approx 1.732$ ）

(1)、求大厦 $B C$ 的高度；（结果精确到 $0.1 m$ ）

(2)、求广告牌 $C D$ 的高度．（结果取整数）

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20. 打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、此次被调查的学生人数为 ▲ 名，并补全条形统计图；

(2)、在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是；

(3)、若该校有3000名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数；

(4)、甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C两类书籍中随机选择一种请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．

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21. 如图，点C在线段 $B D$ 上， $A B ⊥ B D ， A C ⊥ C E ， D E ⊥ B D$ ， $B C = D E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ C D E$ ；

(2)、已知 $A B = 2 ， D E = 4$ ，求 $△ A C E$ 的面积．

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22. 为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，A，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵8元，且用720元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同．

(1)、求A，B两种文具的单价；

(2)、若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过2080元，则年级组至少购买B种文具多少件？

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23. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， D是 $B C$ 的中点，E是 $A D$ 中点，过点A作 $A F ∥ B C$ 交 $C E$ 的延长线于点F．

(1)、求证：四边形 $A D B F$ 是菱形；

(2)、若 $A B = 2 ， ∠ A F B = 60 °$ ，求 $C F$ 的长．

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24. 在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如： $y = 3 x - 1$ 与 $y = - x + 3$ 有且只有一个交点 $(1, 2)$ ，则称这两个函数为“亲密函数”，点 $(1, 2)$ 称为他们的“密接点”．

(1)、判断下列几组函数，是“亲密函数”的在横线上记“ $\sqrt$ ”，不是“亲密函数”的在横线上记“ $\times$ ”；
$①$ $y = 2 x - 1$ 与 $y = - x + 2$ ；
$②$ $y = \frac{1}{x}$ 与 $y = \frac{3}{x}$ ；
$③$ $y = x^{2} - x + 1$ 与 $y = x$ ．

(2)、一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = - \frac{k}{x}$ （其中 $k ， b$ 为常数， $k > 0$ )，且他们的“密接点” $P$ 到原点的距离等于 $3$ ，求 $b$ 的值．

(3)、两条直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 都是二次函数 $y = x^{2} + c$ 的“亲密函数”，且“密接点”分别为 $M ， N$ ．记直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点的纵坐标为 $m$ ，直线 $M N$ 与 $y$ 轴的交点的纵坐标为 $n$ ．试判断 $m$ 与 $n$ 的关系，并证明你的判断．

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25. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，对角线 $A C$ ， $∠ D M C = ∠ D A B$ ．

(1)、求证： $A B = B C$ ．

(2)、当 $k \geq 1$ 时，记 $\frac{D M}{A B} = k$ ，记 $\frac{{S_{△}}_{A B M}}{{S_{△}}_{A D M}} = t$ ．
①当 $k = \frac{3}{2}$ 时，求t的值；
②求t的最大值．

(3)、当 $A D$ 为直径时，连接 $O B$ 交 $A C$ 于点E，满足以下条件：① $S_{△ B C M} = 3$ ；② $S_{△ B E M} = 2 m - n$ ；③ $S_{△ D C M} = 3 m + n$ （m，n均为正整数）；求 $⊙ O$ 的半径r的值．

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