2024年初中数学人教版八年级下学期期中模拟考试卷 03

试卷更新日期：2024-04-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若代数式 $\sqrt{a - 1}$ 在实数范围内有意义，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a > 1$ C、 $a \leq - 1$ D、 $a \neq 1$

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2. 下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是（）

A、 $a = 3 ， b = 4 ， c = 5$ B、 $a = 6 ， b = 8 ， c = 10$ C、 $a = 3 ， b = 5 ， c = 7$ D、 $a = 5 ， b = 12 ， c = 13$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中，D，E，F分别是 $B C$ ， $A C$ ， $A B$ 的中点．若 $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，则四边形 $B D E F$ 的周长是（）

A、8 B、10 C、12 D、16

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4. 下列命题中真命题的个数是（）.
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形：④顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形.

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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5. 下列说法中正确的是（　　）

A、已知a，b，c是三角形的三边，则a²+b²=c² B、在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C、在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a²+b²=c² D、在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a²+b²=c²

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6. 如图，在平行四边形ABCD中，若 $∠ B + ∠ D = 120 °$ ，则∠C的度数为（）

A、150° B、120° C、60° D、30°

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7. 如图，已知一张矩形纸片由A，B两部分组成，阴影部分A是面积为 $32 c m^{2}$ 的正方形．若矩形纸片的长为 $5 \sqrt{2} c m$ ，则B部分的面积为（）

A、 $6 \sqrt{3} c m$ $^{2}$ B、 $10 \sqrt{2} c m$ $^{2}$ C、 $8 c m^{2}$ D、 $5 \sqrt{2} c m$ $^{2}$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ，分别以AB、AC为边向外作正方形ABDE和AFGC.若想要求出 $△ A C D$ 的面积，则只需知道以下哪个图形的面积（）

A、 $△ A B C$ B、 $△ A B G$ C、正方形ABDE D、四边形AFGB

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二、填空题

9. 若实数 $m ， n$ 满足 $| m - n - 5 | + \sqrt{2 m + n - 4} =$ 0 ，则 $3 m + n =$ .

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10. 在△ABC中，AB=5，BC=a，AC=b，如果a，b满足（a+5）(a-5)-b²=0，那么△ABC的形状是．

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11. 使代数式 $\frac{\sqrt{x}}{x + 2}$ 有意义的x的取值范围是.

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12. 如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为．

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13. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $∠ B A O = 80 °$ ，点 $E$ 为 $A D$ 中点，连接 $E O$ ，若 $O D$ 平分 $∠ E O C$ ，则 $∠ A B D =$ 度．

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14. [创新意识]将两张全等的矩形纸片和另外两张全等的正方形纸片按如图所示的方式不重叠地放置在矩形 ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若△BEF 的面积为4，则图中阴影部分的面积为.

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15. 如图，在▱ $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $∠ A C D = 30 °$ ， $A C = 4$ ，过点 $C$ 作 $∠ C A B$ 的平分线的垂线，垂足为点 $E$ ，若点 $O$ 在 $A E$ 的垂直平分线上， $P$ 是直线 $A B$ 上的动点，则 $O P + P E$ 的最小值为．

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三、解答题

16. 在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．

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17. 如图，扶梯 $A B$ 的坡比为 $4 ： 3$ ，滑梯 $C D$ 的坡比为 $1 ： 2 ， B C$ 平行于地面， $B E ⊥ A D$ 于点 $E ， C F ⊥ A D$ 于点 $F$ . 若 $A E = 30 d m ， B C =$ $40 d m$ ，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他所经过的总路程是多少(结果保留根号)?

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18. 如图，在△ABC中，AB＝AC．

(1)、若P为BC上的中点，求证： $A B^{2} - A P^{2} = P B \cdot P C$ ；

(2)、若P为线段BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；

(3)、若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．

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四、实践探究题

19. 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简： $(\sqrt{1 - 3 x})^{2} - | 1 - x |$ ．
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得： $x ⩽ \frac{1}{3}$ ．
∴1﹣x＞0．
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．

(1)、【启发应用】
按照上面的解法，试化简 $\sqrt{(x - 3)^{2}} - (\sqrt{2 - x})^{2}$ ．

(2)、【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： $\sqrt{a^{2}} + \sqrt{(a + b)^{2}} - | b - a |$ ．

(3)、已知a，b，c为ABC的三边长．化简： $\sqrt{(a + b + c)^{2}} + \sqrt{(a - b - c)^{2}} + \sqrt{(b - a - c)^{2}} + \sqrt{(c - b - a)^{2}}$ ．

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20. 在菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ，点 $O$ 为对角线 $A C$ 的中点， $P$ 为线段 $A C$ 上的一个动点 $($ 点 $P$ 不与点 $O$ 重合 $)$ ，分别过点 $A$ ， $C$ 向直线 $B P$ 作垂线 $A E$ 和 $C F$ ，垂足分别为点 $E$ ， $F$ ．

(1)、【问题解决】：如图 $①$ ，当点 $P$ 在线段 $O C$ 上，垂足 $F$ 与 $C D$ 的中点重合，点 $E$ 与点 $B$ 重合时，求证： $O E = O F$ ；

(2)、【问题探究】：如图 $②$ ，当点 $P$ 在线段 $O A$ 上， $O E$ 与 $O F$ 还相等吗？如果相等，请证明 $.$ 如果不相等，请说明理由；

(3)、【拓展延伸】：当点 $P$ 在线段 $A C$ 上运动， $∠ O E F = 30 °$ ，猜想线段 $C F$ ， $A E$ ， $O E$ 之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想．

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五、综合题

21. 在 $▱ A B C D$ 中，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，点 $F$ 在 $C D$ 上， $A E = C F$ ，连接 $B F$ 、 $A F$ ．

(1)、求证：四边形 $D E B F$ 是矩形；

(2)、若 $A F$ 平分 $∠ D A B$ ， $A E = 3$ ， $D E = 4 ．$ 求 $A F$ 的长．

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22. 如图，四边形 $C E D F$ ， $∠ C E D = ∠ E D F = ∠ D F C = ∠ F C E = 90 °$ ， $C E = D E = D F = C F$ ， A是边DE上一点，过点C作 $B C ⊥ A C$ 交 $D F$ 延长线于点B ．

(1)、求证： $B D = A E + C E$ ；

(2)、设 $△ A C E$ 三边分别为a、b、c ，利用此图证明勾股定理．

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23. 如图，已知四边形 $A B C D$ 为正方形， $A B = 4$ ，点E为平面内一动点（不与点D重合），连接 $D E$ ，以 $D E$ 为边作正方形 $D E F G$ ，连接 $C G$ ．

(1)、如图1，当点E在对角线 $A C$ 上移动时：
①求证： $△ A D E ≌ △ C D G$ ；
②探究： $C E + C G$ 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
③求证：点F在直线 $B C$ 上．

(2)、如图2，连接 $C F$ ，则 $D E + C F + C G$ 的最小值等于．

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