2024年人教版中考数学二轮复习专题9 分式方程

试卷更新日期：2024-04-16 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 上海与北京之间的铁路距离约为1400km，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4h到达.已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的2倍，设普通快车的平均行驶速度为xkm/h，根据题意所列出的方程为（）

A、 $\frac{1400}{x} = \frac{1400 \times 2}{x + 4}$ B、 $\frac{1400 \times 2}{x} = \frac{1400}{x + 4}$ C、 $\frac{1400}{2 x} - \frac{1400}{x} = 4$ D、 $\frac{1400}{x} - \frac{1400}{2 x} = 4$

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2. 方程 $\frac{x}{x - 3} = \frac{2}{3 - x}$ 的根是（）

A、 $x = 3$ B、 $x = 2$ C、 $x = - 2$ D、 $x = - 2$ 或 $x = 3$

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3. 八年级学生去距学校10千米的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为 $x k m / h$ ，则可列方程为（）

A、 $\frac{10}{2 x} - \frac{10}{x} = 20$ B、 $\frac{10}{x} - \frac{10}{2 x} = 20$ C、 $\frac{10}{x} - \frac{10}{2 x} = \frac{1}{3}$ D、 $\frac{10}{2 x} - \frac{10}{x} = \frac{1}{3}$

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4. 某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？设每辆小货车的货运量是x吨，则列方程正确的是（）

A、 $\frac{80}{x - 4} = \frac{60}{x}$ B、 $\frac{80}{x} = \frac{60}{x - 4}$ C、 $\frac{80}{x} = \frac{60}{x + 4}$ D、 $\frac{80}{x + 4} = \frac{60}{x}$

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5. 若关于x的二次函数 $y = x^{2} - a x + 1$ ，当 $x ≤ - 2$ 时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程 $\frac{1}{2 - x} = 2 + \frac{1 - a x}{x - 2}$ 有正数解，那么所有满足条件的整数a的值有（）

A、6个 B、5个 C、4个 D、3个

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6. 关于x的分式方程 $\frac{7}{x - 1}$ +3＝ $\frac{m}{x - 1}$ 无解，m的值为（　　）

A、7 B、-7 C、1 D、-1

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7. 设m，n为实数，定义如下一种新运算：m☆n= $\frac{n}{3 m - 9} .$ 若关于x的方程a(x☆x)=(x☆12)+1无解，则a的值是（）

A、4 B、-3 C、4或-3 D、4或3

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8. 若整数 $a$ 使得关于 $x$ 的分式方程 $\frac{16}{x (x - 4)} + \frac{2}{x} = \frac{a}{x - 4}$ 有正整数解，且使得关于 $y$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{y + 1}{2} - \frac{y - 1}{3} > 1 \\ \frac{1 - y}{2} \geq 3 - a \end{array}$ 有解，那么符合条件的所有整数 $a$ 的和为（）

A、 $23$ B、 $20$ C、 $16$ D、 $10$

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9. 若分式方程 $\frac{a x}{x - 3} + \frac{3}{3 - x} = 2$ 无解，则 $a$ 的值是（）

A、 $3$ 或 $2$ B、 $1$ C、 $1$ 或 $3$ D、 $1$ 或 $2$

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10. 若整数a使关于x的分式方程 $\frac{1}{x - 3} + \frac{x - a}{3 - x} = 1$ 的解为非负整数，且使关于y的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{y + 5}{3} \leq \frac{y}{2} \\ y - 3 > 2 (y - a) \end{array}$ 至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）

A、24 B、12 C、6 D、4

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二、填空题

11. 已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x + 1}{2} \leq 4 \\ 2 x - a > 5 \end{array}$ 至少有3个整数解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a y}{y - 2} - \frac{8}{2 - y} = - 1$ 有整数解，那么满足条件的所有整数 $a$ 的和是．

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12. 已知关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x > m + 2 \\ 2 x + 1 \leq - 4 m - 1 \end{array}$ 无解，且关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 2} + \frac{m x + 4}{2 - x} = - 1$ 的解是正整数，则整数m的值为．

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13. 现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖的千克数和单价如下表.

	甲种糖	乙种糖	丙种糖
千克数	20	10	20
单价（元/千克）	15	20	25

商店以糖的平均价（平均价=混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，则需再加入丙种糖千克.

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14. 关于x的分式方程 $\frac{m}{x - 1} + \frac{3}{1 - x} = 1$ 的解为正数，则m的取值范围是．

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15. 若关于x的方程 $\frac{a x}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + 1$ 无解，则a的值为.

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16. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{3 - x} - \frac{1 - x}{x - 3} = 4$ 的解为正整数，且关于 $y$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{y - a}{5} \leq 1 \\ \frac{3 y + 2}{2} > 2 y - 1 \end{array}$ 的解集为 $y < 4$ ，则满足条件的所有整数 $a$ 之和为．

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三、解答题

17. 对于分式方程 $\frac{2 - x}{x - 3} + 3 = \frac{2}{3 - x}$ 牛牛的解法如下：解：方程的两边同乘(x-3)，得2-x+3=-2(x -3).…①
去括号，得2-x+3=-2x+6，…②
解得 x=1，…③
∴原方程的解为 x=1，…④

(1)、上述解答过程中开始出现错误的一步是(填序号).

(2)、请写出正确的解答过程.

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18. 某市决定将一批生姜送往外地销售.现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱生姜，且甲种货车装运1 000箱生姜所用车辆数与乙种货车装运800箱生姜所用车辆数相等.

(1)、甲、乙两种货车每辆车可装多少箱生姜?

(2)、如果这批生姜有1 520箱，用甲、乙两种货车共16辆来装运，甲种货车刚好装满，乙种货车最后一辆只装了40箱，其他装满，甲、乙两种货车各有多少辆?

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19. 若关于x的方程 $\frac{1}{x - 1} + \frac{m}{x - 2} = \frac{2 m + 2}{(x - 1) (x - 2)}$ 无解，求 m 的值．

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20. 已知，关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{2 x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$ ．

(1)、当 $a = 2$ ， $b = 1$ 时，求分式方程的解；

(2)、当 $a = 1$ 时，求 $b$ 为何值时分式方程 $\frac{a}{2 x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$ 无解；

(3)、若 $a = 3 b$ ，且 $a$ 、 $b$ 为正整数，当分式方程 $\frac{a}{2 x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$ 的解为整数时，求 $b$ 的值．

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四、实践探究题

21. 【综合与实践】
学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下：购买甲种足球共用2000元，购买乙种足球共花费1400元.已知购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.设购买一个甲种足球的单价是 $x$ 元。

(1)、请用含 $x$ 的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；

(2)、若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价；

(3)、为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了10％，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了10％.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量.

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22. 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．

题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法	分析问题	列出方程
解法一	设…… 等量关系：甲商品数量＝乙商品数量	$\frac{2000}{x} = \frac{1200}{x - 20}$
解法二	设…… 等量关系：甲商品进价－乙商品进价＝20	$\frac{2000}{x} - \frac{1200}{x} = 20$

任务：

(1)、解法一所列方程中的x表示，解法二所列方程中的x表示．

A．甲种商品每件进价x元

B．乙种商品每件进价x元

C．甲种商品购进x件

(2)、根据以上解法可求出甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件．

(3)、若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，当购进的甲、乙两种商品全部售出后，请求出该商店获得最大的利润W ．（利润＝售价－进价）

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23. 先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+ $\frac{1}{x}$ =2+ $\frac{1}{2}$ 的解为x₁=2，x₂= $\frac{1}{2}$ ；
方程x+ $\frac{1}{x}$ =3+ $\frac{1}{3}$ 的解为x₁=3，x₂= $\frac{1}{3}$ ；
方程x+ $\frac{1}{x}$ =4+ $\frac{1}{4}$ 的解为x₁=4，x₂= $\frac{1}{4}$
……

(1)、观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+ $\frac{1}{x}$ =5+ $\frac{1}{5}$ 的解是.

(2)、根据上面的规律，猜想关于x的方程x+ $\frac{1}{x}$ =a+ $\frac{1}{a}$ 的解是.

(3)、猜想关于x的方程x- $\frac{1}{x}$ = $1 \frac{1}{2}$ 的解并验证你的结论

(4)、在解方程y+ $\frac{y + 2}{y + 1}$ = $\frac{10}{3}$ 时，可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程．

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24. 观察下列方程的特征及其解的特点；
①x+ $\frac{2}{x}$ ＝﹣3的解为x₁＝﹣1，x₂＝﹣2．
②x+ $\frac{6}{x}$ ＝﹣5的解为x₁＝﹣2，x₂＝﹣3．
③x+ $\frac{12}{x}$ ＝﹣7的解为x₁＝﹣3，x₂＝﹣4；
解答下列问题；

(1)、请你写出一个符合上述特征的方程为，其解为．

(2)、根据这类方程特征，写出第n个方程为，其解为．

(3)、请利用（2）的结论，求关于x的方程x+ $\frac{n^{2} + n}{x + 3}$ ＝﹣2（n+2）（其中n为正整数）的解．

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五、综合题

25. 某店有 $A$ 、 $B$ 两种口罩出售，其中 $B$ 种口罩的单价要比 $A$ 种口罩的单价多0.3元，用27元购进 $A$ 种口罩数量是用18元购进 $B$ 种口罩数量的2倍．

(1)、求 $A$ 、 $B$ 两种口罩的单价；

(2)、某单位从该店购进 $A$ 、 $B$ 两种口罩共1000个，总费用为1080元，求购进 $A$ 种口罩多少个．

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26. 新冠肺炎突袭，防疫物资紧缺成为各国急需解决的难题，作为一个负责任大国，中国向各国验发出口防疫物资，深圳海关现要验发 $4500$ 万件物资.为了尽快把防疫物资发往各国，深圳海关把工作效率提高到原计划的 $1.5$ 倍，结果比原计划提前 $3$ 小时完成了验发出口防疫物资.

(1)、求原计划每小时验发出口多少万件防疫物资？

(2)、中国将第一批次援助巴基斯坦防疫物资打包成件.现计划租用甲、乙两种飞机共 $8$ 架，将这批口罩和防护服全部运往巴基斯坦，且乙种飞机数量不少于甲种飞机的 $\frac{1}{3}$ .如果甲种飞机每架需付运输费 $3.6$ 万元，乙种飞机每架需付运输费 $4$ 万元，在租用甲、乙两种飞机时，应该如何安排可使运输费最少？最少运输费是多少万元？

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27. 某地计划修建一条长48千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的1.5倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天．

(1)、求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米?

(2)、已知甲工程队修路费用为20万元/千米，乙工程队修路费用为15万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用低于820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案?哪种方案最省钱?

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28. 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．

题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法	分析问题	列出方程
解法一	设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量	$\frac{2000}{x} = \frac{1200}{x - 20}$
解法二	设…… 等量关系：甲商品进价-乙商品进价=20	$\frac{2000}{x} - \frac{1200}{x} = 20$

任务：

(1)、解法一所列方程中的x表示，解法二所列方程中的x表示．

A．甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元 C．甲种商品购进x件

(2)、根据以上解法可求出甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件．

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2024年人教版中考数学二轮复习 专题9 分式方程

一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

五、综合题

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