江西省宜春市丰城市重点中学2023-2024学年八年级下学期开学数学试题

试卷更新日期：2024-04-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 下列曲线中，表示y不是x的函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 直角三角形的两直角边的长分别为3，5，第三边长为（　　）

A、4 B、 $\sqrt{34}$ C、4或 $\sqrt{34}$ D、4和 $\sqrt{34}$

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3. 如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）

A、3cm² B、4cm² C、6cm² D、12cm²

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4. 如图是楼梯的一部分，若 $A D = 2$ ， $B E = 1$ ， $A E = 3$ ，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $\sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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5. 已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9-2a|- $\sqrt{9 - 12 a + 4 a^{2}}$ 的结果是（）

A、12-4a B、4a-12 C、12 D、-12

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6. 已知 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， $(x_{3} ， y_{3})$ 为直线 $y = k x - 2 k (k > 0)$ 上的三个点，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则以下判断正确的是（）

A、若 $(x_{1} - 2) (x_{2} - 2) > 0$ ，则 $y_{1} \cdot y_{3} > 0$ B、若 $(x_{1} - 2) (x_{3} - 2) < 0$ ，则 $y_{1} \cdot y_{2} > 0$ C、若 $(x_{2} - 2) (x_{3} - 2) > 0$ ，则 $y_{1} \cdot y_{3} > 0$ D、若 $(x_{2} - 2) (x_{3} - 2) < 0$ ，则 $y_{1} \cdot y_{2} > 0$

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二、填空题

7. 函数 $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 3}$ 的自变量的取值范围是．

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8. 如图，直线 $l_{1}$ ： $y = 2 x$ 与直线 $l_{2}$ ： $y = k x + 3$ 交于点 $M$ ，则不等式 $2 x \geq k x + 3$ 的解集为．

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9. 已知 $\sqrt{12 n}$ 是整数，则满足条件的最小正整数n为．

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10. 一次函数y= -2x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积是 .

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11. 定义：平面上一点与某个图形所有点相连的线段中最短的线段长度叫做点与该图形之间的距离，记为 $d$ ．如图，已知菱形 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 3$ ，平面内一动点 $P ($ 菱形外部 $)$ 到菱形 $A B C D$ 的距离为 $d = 1$ ，则点 $P$ 运动轨迹的长度为.

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12. 矩形纸片 $A B C D$ ，长 $A D = 8 c m$ ，宽 $A B = 4 c m$ ，折叠纸片，使折痕经过点 $B$ ，交 $A D$ 边于点 $E$ ，点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处，展平后得到折痕 $B E$ ，同时得到线段 $B A^{'}$ ， $E A^{'}$ ，不再添加其它线段，当图中存在 $3 0^{∘}$ 角时， $A E$ 的长为厘米．

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三、解答题

13. 化简：

(1)、 $\frac{1}{3} \sqrt{18} + \frac{1}{2} \sqrt{12}$ ；

(2)、 $(\sqrt{24} - \sqrt{0.5} + 2 \sqrt{\frac{2}{3}}) - (\sqrt{\frac{1}{8}} - \sqrt{6})$ ．

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14. 已知其中 $a = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ，化简求值 $(1 - \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - a}$ ；

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15. 已知 $y - 2$ 与 $3 x - 4$ 成正比例，且当 $x = 2$ 时， $y = 3$ ．

(1)、求出y与x之间的函数解析式；

(2)、判断点 $P (- 2 ， - 3)$ 是否在这个函数的图象上．

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16. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，E为 $A B$ 边上一点， $E F ∥ B C$ 交 $B D$ 于点M ，交 $C D$ 于点F ．求证： $C F = E M$ ．

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17. 如图，在正方形 $4 \times 4$ 网格中，每个小正方形的边长均为1，已知点A ，点B均为格点．按下列要求作图，使得每个图形的顶点均在格点上．

(1)、请在图①中，画出以 $A B$ 为边的正方形 $A B C D$ ；

(2)、请在图②中，画出以 $A B$ 为底的等腰 $△ A B F$ ，且 $△ A B F$ 的面积为 ▲

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18. 已知a ， b ， c满足 $| a - 2 \sqrt{2} | + \sqrt{b - 4} + (c - 2 \sqrt{6})^{2} = 0$ ．

(1)、求a ， b ， c的值；

(2)、试问：以a ， b ， c为三边长能否构成直角三角形，如果能，请求出这个三角形的面积，如不能构成三角形，请说明理由．

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19. 我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励.现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元.

(1)、求甲、乙两种奖品的单价；

(2)、根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的 $\frac{1}{2}$ ，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用。

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20. 如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y₁=x和y₂=﹣2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3），过点P作直线m与x轴垂直．

(1)、求点C的坐标，并回答当x取何值时y₁＞y₂；

(2)、设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式；

(3)、当x为何值时，直线m平分△COB的面积．

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21. 如图，在四边形ABCD中，AB $/ /$ CD ， ∠BCD=90°，AB=AD=10cm ， BC=8cm ．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q同时运动停止，设运动时间为t秒．

(1)、求CD的长；

(2)、当t为何值时，四边形PBQD为平行四边形？

(3)、在运动过程中，是否存在四边形BCQP是矩形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

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22. 我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似 $\frac{\sqrt{b}}{a}$ 这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ， $\frac{\sqrt{x + 1}}{x^{2} - 2}$ 都是根分式．

(1)、请根据以上信息，写出根分式 $M = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 中 $x$ 的取值范围：；

(2)、已知两个根分式 $M = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 与 $N = \frac{\sqrt{x^{2} - 5 x + 7}}{x - 2}$ ．
①是否存在 $x$ 的值使得 $N^{2} - M^{2} = 1$ ，若存在，请求出 $x$ 的值，若不存在，请说明理由；
②当 $M^{2} + N^{2}$ 是一个整数时，求无理数 $x$ 的值．

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23.

(1)、如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；

(2)、如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；

(3)、运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．

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