重庆市渝中区2024年中考数学重难点检测卷

试卷更新日期：2024-04-16 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $\frac{3}{2}$ 的相反数是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ， $∠ A B E = 65 °$ ， $∠ E = 25 °$ ，则 $∠ C F E$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ D、 $50 °$

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3. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是以点O为位似中心的位似图形，若 $O C ： C F = 2 ： 3$ ， $△ D E F$ 的周长为15，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、10 B、6 C、5 D、4

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4. 估算 $(\sqrt{27} - \sqrt{6}) \times \sqrt{\frac{2}{3}}$ 的结果在（）

A、4和5之间 B、3和4之间 C、2和3之间 D、1和2之间

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5. 根据如图所示的程序计算y的值，若输入x的值为3时，输出y的值为4，则输入x的值为6时，输出y的值为（）

A、14 B、11 C、10 D、8

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6. 在一次设计环保标志的活动中，初三（1）班的同学们积极投稿，班主任王老师准备了若干盒巧克力奖励给本班投稿的同学，若每2位同学奖励一盒巧克力，则少2盒；若每3位同学奖励一盒巧克力，则又多了3盒.设该班投稿的同学有x人，巧克力有y盒，根据题意得方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 2 y + 2 \\ x = 3 y - 3 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 y - 2 \times 2 \\ x = 3 y + 3 \times 3 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 2 y + 2 \times 2 \\ x = 3 y - 3 \times 3 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 2 y - 2 \\ x = 3 y + 3 \end{array}$

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7. 将大小形状完全相同的”△”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中”△”的个数，则第8个图中三角形的个数是（）

A、40 B、42 C、43 D、44

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8. 如图， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点F ，连接 $O B$ 、 $O A$ 分别交 $⊙ O$ 于点D、C ， E为 $⊙ O$ 上一点，连接 $C E$ ， $D E$ .若 $⊙ O$ 半径为2， $∠ O A B = 30 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3} + 2$ ，则 $∠ C E D$ 的度数是（）

A、60° B、65° C、55° D、52.5°

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9. 若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{3 x + 5}{4} \leq \frac{x + 3}{2} \\ x + \frac{1}{2} > \frac{x + a}{2} \end{array}$ 无解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{5 - a y}{2 - y} - 1 = \frac{3}{y - 2}$ 有整数解，则满足条件的所有整数 $a$ 的和为（）

A、10 B、12 C、16 D、14

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10. 对于两个正整数a ， $b (a < b)$ ，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算b与a的差的算术平方根，记作 $x_{1}$ ；第二次操作：计算b与 $x_{1}$ 的差的算术平方根，记作 $x_{2}$ ；第三次操作：计算b与 $x_{2}$ 的差的算术平方根，记作 $x_{3}$ ；……依次类推，若 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n} = a$ ，则下列说法
①当 $a = 3$ 时， $b = 12$ ； ②当 $b = 306$ 时， $a = 18$ ；
③点 $P (a ， b)$ 一定在抛物线 $y = x^{2} + x$ 上；
④当 $a = 1$ ， 2，3，…，n时，对应b的值分别为 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， …， $b_{n}$ ，若 $\frac{3}{b_{1}} - \frac{3}{b_{2}} - \dots - \frac{3}{b_{n}} = \frac{1}{14}$ 则n的值为42：其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + | \sqrt{2} - 1 | =$ ．

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12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．

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13. 已知一个不透明的盒子里装有4个球，其中1个红球，3个白球，这些球除颜色外其它均相同，现从中随机地摸出一个小球，不放回，然后再从剩下的小球中随机摸出一个，则摸出的两个小球恰好都是白球的概率为．

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14. 一个等腰三角形的顶角为140°，则它一腰上的高与另一腰的夹角为 $°$ ．

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15. 某口罩厂一月份的口罩产量为160万只，由于市场需求逐渐减少，三月份的产量减少到90万只．假设该厂二、三月份的口罩产量的月平均减少率为 $x$ ，则可列方程为．

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16. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O ．以 $B C$ 为直径在 $B C$ 上方作半圆，半圆与 $A B$ 交于点E ，再以B为圆心， $B A$ 为半径作弧 $A C$ ．若 $B D = 8 \sqrt{3}$ ，则图中阴影部分的面积为．（结果保留 $π$ ）

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17. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 1 \leq \frac{x + 7}{3} \\ 5 x + 1 - a \geq 0 \end{array}$ 有且只有四个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{a + 1}{y + 1} = \frac{4 y - 1}{y + 1} - 2$ 的解为非正数，则符合条件的所有整数a的和为．

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18. 一个四位正整数 $A = 2000 a + 120 b + 10 c + d + 3$ ，其中 $1 \leq a$ ， $b \leq 4$ ， $1 \leq 2 b + c \leq 9$ ， $0 \leq d \leq 6$ ，且 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 均为整数． $A$ 的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，将 $A$ 的千位数字和百位数字组成的两位数记为 $s$ ，十位数字和个位数字组成的两位数记为 $t$ ．记 $A$ 的千位数字与个位数字的乘积为 $P (A)$ ，百位数字与十位数字的乘积为 $Q (A)$ ．若 $s + t$ 被7除余4，则 $b + d =$ ，在此条件下，当 $P (A) - Q (A) = k^{2} - 4$ （ $k$ 为整数）时，最大的四位正整数 $A =$ ．

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三、解答题

19. 化简：

(1)、 $(x - y) (x + y) - x (x - y)$

(2)、 $\frac{a - 2 a^{2}}{a^{2} - 2 a + 1} \div (a - 1 - \frac{a^{2}}{a - 1})$

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20. 如图， $B D$ 是平行四边形 $A B C D$ 的对角线， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ，交 $C D$ 于点E ．

(1)、请用尺规作 $∠ B C D$ 的角平分线 $C F$ ，交 $A B$ 于点F（只保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、根据图形证明四边形 $A E C F$ 为平行四边形，请完成下面的填空．
证明：∵四边形 $A B C D$ 是平行四边形，
∴ $A B ∥ C D$ ， $∠ B A D = ∠ B C D$ ，
∴ ① （两直线平行，内错角相等），
又∵ $A E$ 平分 $∠ B A D$ ， $C F$ 平分 $∠ B C D$ ，
∴ $∠ E A F =$ ② ， $∠ E C F =$ ③ ，
∴ $∠ E A F =$ ④ ，
∴ $A E$ ∥ ⑤ ，
又∵四边形 $A B C D$ 是平行四边形，
∴ $C E ∥ A F$ ，
∴四边形 $A E C F$ 为平行四边形（ ⑥ ）（填推理的依据）．

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21. 特种部队是世界些国家军队中，担负破袭敌方重要的政治、经济、军事目标和遂行其他特殊任务的部队，某特种部队在今年4月中旬，为加强自身的作战能力，特分为蓝队、红队进行常规训练科目比赛．现从蓝队、红队中各随机抽取 $10$ 名军人的比赛成绩（百分制）进行整理和分析（用x表示成绩得分，共分为四组：A ． $80 \leq x < 85$ ， B ． $85 \leq x < 90$ ， C ． $90 \leq x < 95$ ， D ． $95 \leq x \leq 100$ ），下面给出了部分信息：
蓝队 $10$ 名军人的比赛成绩是： $97$ ， $85$ ， $96$ ， $84$ ， $96$ ， $96$ ， $96$ ， $84$ ， $90$ ， $96$ ．
红队 $10$ 名军人的比赛成绩在C组中的数据是： $92$ ， $93$ ， $94$ ．
蓝队、红队抽取的军人比赛成绩统计表红队抽取的军人比赛成绩扇形统计图
组别
蓝队
红队
平均数
$92$
$92$
中位数
$96$
m
众数
b
$98$
方差
$28 ． 6$
$28 ． 1$
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、上述图表中 $a =$ ， $b =$ ， $m =$ ；

(2)、根据以上数据，你认为该特种部队中蓝队、红队哪一个比赛成绩较好些？请说明理由（一条理由即可）；

(3)、该特种部队中蓝队、红队共 $60$ 人参加了此次比赛活动，估计参加此次比赛活动成绩优秀 $(x \geq 95)$ 的军人人数是多少？

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22. 春笋含有丰富的营养成分，是春天的重要食材．今年4月初，某蔬菜批发市场一店主张先生用 $2000$ 元购进一批春笋，很快售完；张先生又用 $3200$ 元购进第二批春笋，所购春笋的重量是第一批的2倍，由于进货量增加，第二批春笋的进价比第一批每千克少2元．

(1)、第一批春笋每千克进价多少元？

(2)、张先生的两批春笋若都按照同样的单价全部售出，要使得总利润率不低于 $25 %$ ，那么张先生的销售单价应不低于多少元？（结果保留整数)

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23. 如图1．在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A D = B C = 5$ ， $D C = 4$ ， $A B = 10$ ，点P在四边形的边上，且沿着点B→C→D→A运动．设点P的运动路程为x ，记 $A B 、 B P 、 P A$ 围成的图形面积为S ， $y_{1} = S ， y_{2} = \frac{40}{x} (x \neq 0)$

(1)、请直接写出 $y_{1}$ 与x的函数关系式，并写出x的取值范围

(2)、如图2，平面直角坐标系中已画出函数 $y_{2}$ 的图像，请在同一坐标系中画出函数 $y_{1}$ 的图像；

(3)、结合y₁与y₂的函数图象，直接写出当 $y_{1} > y_{2}$ 时，x的取值范围．(结果取精确值)

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24. 某学校初中实践小组为测量学校附近与地面垂直的某商业楼 $A B$ 墙面上的广告牌 $A C$ 的高度进行了一系列测量，得到如下一些数据：站在距离商业楼底部B处12米远的地面D处，测得广告牌的底部C的仰角为45°，同时测得商业楼的窗户G处的仰角为30°，然后，向前前行8米走到点E处，再沿坡度为 $i = 1 ： 0.75$ 的斜坡从E走到F处，此时 $G F$ 正好与地面平行，在F处又测得广告牌顶部A的仰角为 $26 °$ ． (其中A、C、G、B在同一直线上，B、D、E在同一直线上) (参考数据： $s i n 26 ° \approx 0.44$ ， $c o s 26 ° \approx 0.9 ， t a n 26 ° \approx 0.49 ， \sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ )

(1)、求点F距离水平地面的高度和它与窗户G的距离；(结果不取近似值)

(2)、求广告牌AC的高度(结果精确到 $0.1$ 米)．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，直线 $y = x + 2$ 与抛物线交于 $C ， D$ 两点，点 $P$ 是 $C D$ 下方抛物线上的一点．过点 $P$ 作 $P E 丄 C D$ ，垂足为 $E$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、当 $P E$ 取得最大值时，求点 $P$ 的坐标和 $P E$ 的最大值；

(3)、将抛物线向右平移3个单位得到新抛物线， $G$ 为原抛物线对称轴上一点；点 $H$ 为新抛物线上一点．当(2)中 $P E$ 最大时，直接写出所有使得以点 $A ， P ， G ， H$ 为顶点的四边形是平行四边形的点 $H$ 的坐标，并把求其中一个点 $H$ 的坐标的过程写出来．

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26. 如图， $C D$ 为 $△ A B C$ 的中线，以 $C D$ 为直角边在其右侧作直角 $△ C D E$ ， $C D 丄 D E$ ， $B C$ 与 $D E$ 交于点F ， $∠ C E D = 30 °$ ．

(1)、如图1，若 $C F = E F = 5$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、如图2，若将 $B C$ 绕点C逆时针旋转 $120 °$ 得到 $C G$ ，连接 $A G$ 、 $A E$ ，探究 $A G$ 、 $A E$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、如图3，若 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，直线 $C E$ 上有一点M ，连接 $M F$ ，将 $△ C F M$ 沿着 $M F$ 翻折到 $△ A B C$ 所在的平面内得到 $△ N F M$ ，取 $N F$ 的中点P ，连接 $A P$ ，当 $A P$ 最小时，请直接写出 $△ A P B$ 的面积．

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组别	蓝队	红队
平均数	$92$	$92$
中位数	$96$	m
众数	b	$98$
方差	$28 ． 6$	$28 ． 1$