重庆市涪陵区2024年中考数学重难点检测卷

试卷更新日期：2024-04-16 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 7的相反数是（）

A、 $- 7$ B、 $| - 7 |$ C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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2. 如图是由6个相同的小正方体组成的一个立体图形，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 计算 ${(- b)}^{3}$ 结果正确的是（）

A、-3b B、3b C、-b³ D、b³

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4. 如图，直线 $A B ∥ C D$ ，直线 $E F$ 分别交直线 $A B 、 C D$ 于点E ， F ，若 $∠ E F D = 40 °$ ，则 $∠ A E F$ 的度数为（）

A、 $140 °$ B、 $120 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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5. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，点O是它们的位似中心，且它们的周长比为 $2 ︰ 3$ ，则 $△ A O B$ 与 $△ D O E$ 的面积之比是（）

A、 $2 ︰ 3$ B、 $1 ︰ 2$ C、 $4 ︰ 9$ D、 $9 ︰ 4$

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6. 如图所示，将形状、大小完全相同的小圆点“●”按照一定规律摆成下列图形，其中第①个图案中有1个小圆点，第②个图案中有5个小圆点，第③个图案中有9个小圆点， …… 按此规律排列下去，则第⑦个图案中小圆点的个数为（）

A、21 B、25 C、29 D、30

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7. 估计 $(\sqrt{6} + 2 \sqrt{3}) \div \sqrt{3}$ 的值应在（）

A、2和3之间 B、3和4之间 C、4和5之间 D、5和6之间

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8. 受疫情的影响，某养殖场在2022年9月的销售额为18万元，11月下降到13万元，若设这两个月平均每月减少销售额的百分率为x ，则可得方程（）

A、 $18 (1 - 2 x) = 13$ B、 $13 {(1 + x)}^{2} = 18$ C、 $18 (1 - x) + 18 {(1 - x)}^{2} = 13$ D、 $18 {(1 - x)}^{2} = 13$

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9. 如图， $A B$ 是半径为8的 $⊙ O$ 的弦，点C是优弧 $A B$ 的中点， $∠ A C B = 60 °$ ，则弦 $A B$ 的长度是（）

A、8 B、4 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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10. 若对于任意实数x ， $[x]$ 表示不超过x的最大整数，例如 $[1.8] = 1 ， [- 1.9] = - 2 ，$ 那么以下说法正确的有（    ）
① $[2 - \sqrt{3}] = 1$ ；    ② $[- x] = - [x]$ ；    ③若 $[x]$ 满足 $2 - 3 [x] \geq - 4$ ，则 $x \leq 2$ ；
④若 $[x]$ ＝ $[y]$ ，则 $| x - y | < 1$ ；   ⑤对于任意的实数x ，均有 $[x] + [x - 0.5] = [2 x] - 1$ ：

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. $| \sqrt{5} - 3 | - {(- \frac{1}{3})}^{- 2} =$ ．

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12. 最近比较火的一款软件ChatGPT横空出世，仅2023年2月9日当天，其下载量达到了286000次的峰值，286000用科学记数法可表示为．

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13. 如果一个多边形的内角和比外角和的4倍还多180°，则这个多边形的边数是．

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14. 有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，把这四张卡片背面朝上，随机抽取一张卡片，记数字为m ，放回并洗匀，再从中随机抽取一张卡片，记数字为n ，则满足 $\frac{m}{n} > 1$ 的概率为.

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15. 如图，点M是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 图像上的一点，过点M作 $M N ⊥ x$ 轴于点N ，点P在y轴上，若 $△ M N P$ 的面积是2，则 $k =$ ．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，以点A为圆心， $A D$ 的长为半径画弧，交 $B C$ 于点M ，再以点C为圆心， $D C$ 的长为半径画弧，交 $B C$ 于点N.若 $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $D C = 2$ ，则图中阴影部分的面积为.

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 8$ ， $A B = 6$ ，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点E ，将 $△ A D E$ 沿着 $D E$ 翻折到 $△ F D E$ ，连接 $C F$ ，则 $C F$ 的长为．

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18. 若一个各位数字均不为 $0$ 的四位数 $M = \bar{a b c d}$ （ $1 \leq c \leq a \leq 9$ ， $1 \leq b$ ， $d \leq 9$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 为整数）满足：把 $M$ 的千位数字作为十位数字， $M$ 的十位数字作为个位数字组成的两位数 $\bar{a c}$ 与 $5$ 的和记作 $X$ ， $M$ 的千位数字与个位数字的 $2$ 倍的和记作 $Y$ ，如果 $X$ 的各位数字之和与 $(Y - 1)$ 的和是一个正整数 $K$ 的平方，则称这个四位数为“赓续数”，正整数 $K$ 称“赓续元素”；当 $c = 1$ ， $d = 9$ 时，最小“赓续数”为；若“赓续数” $M$ 满足前两位数字之和 $a + b$ 与后两位数字之和 $c + d$ 相等，且 $\frac{\bar{a b} + \bar{c d}}{9}$ 为整数，则满足条件的最大 $M$ 为.

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三、解答题

19. 如图，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A C$ 为矩形的一条对角线．

(1)、用尺规完成以下基本作图：在 $A B$ 的左侧作 $∠ E A B = ∠ A C D$ ，射线 $A E$ 与 $C B$ 的延长线交于点E ．连接 $D E$ 与 $A B$ 交于点F；（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）

(2)、小亮判断点F为线段 $D E$ 的中点．他的证明思路是：利用矩形的性质，先证明 $△ A E C$ 为等腰三角形，从而得到点B为 $E C$ 的中点，再利用三角形全等，得到点F为 $D E$ 的中点．请根据小亮的思路完成下面的填空：
证明：∵四边形 $A B C D$ 为矩形
∴ $A D = B C$ ， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 °$ ， $A B ∥ D C$ ，
∵ $A B ∥ D C$ ，
∴     ①       ，
∵ $∠ E A B = ∠ A C D$ ，
∴ $∠ E A B = ∠ B A C$ ，
∵ $∠ A B C = 90 °$ ，
∴ $∠ A B E = 90 °$ ，
∴ $∠ B A C + ∠ A C B = 90 °$ ， $∠ E A B + ∠ A E B = 90 °$ ，
∴     ②       ，
∴ $A E = A C$ ，
∵ $∠ A B C = 90 °$ ，
∴ $A B ⊥ B C$ ，
∴     ③       ，
∵ $A D = B C$ ，
∴ $A D = B E$ ，
∵ $∠ B A D = ∠ A B E = 90 °$ ， $∠ A F D = ∠ B F E$ ，
∴     ④       $(A A S)$ ，
∴ $E F = F D$ ，
∴点F为 $E D$ 的中点．

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20. 计算：

(1)、 $2 {(x - y)}^{2} - x (2 x - 5 y)$

(2)、 $\frac{m^{2} - 16 n^{2}}{m + n} \div (1 - \frac{5 n}{m + n})$

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21. 某校为了解学生对共青团的认识，组织七、八年级全体学生进行了“团史知识”竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（满分100分，90分及90分以上为优秀）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组： $A . 80 \leq x < 85$ ， $B . 85 \leq x < 90$ ， $C . 90 \leq x < 95$ ， $D . 95 \leq x \leq 100$ ，下面给出了部分信息：
七年级抽取的 $10$ 名学生的竞赛成绩是： $99$ ， $80$ ， $99$ ， $86$ ， $99$ ， $96$ ， $90$ ， $100$ ， $89$ ， $82$
八年级抽取的 $10$ 名学生的竞赛成绩在 $C$ 组中的数据是： $94$ ， $90$ ， $91$
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
$92$
$93$
$c$
$52$
八年级
$92$
$b$
$100$
$50.4$
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、图表中 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握团史知识较好？请说明理由（一条理由即可）；

(3)、该校七年级有 $450$ 人，八年级有 $500$ 人参加了此次“团史知识”竞赛，估计参加竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？

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22. 某工厂正在生产某种仪器的部件．

(1)、一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用 $1 m^{3}$ 钢材可做60个A部件或300个B部件．现将 $8 m^{3}$ （钢材全部用于制作这种仪器，应用多少 $m^{3}$ 钢材做A部件，才能使生产的A ， B部件恰好配套？

(2)、甲、乙两个车间接到任务生产一批A部件．若甲车间单独完成，则恰好能在规定工期完成，若乙车间单独完成，则需要比规定工期多用6天．若甲、乙两车间合作4天，剩下的由乙车间单独完成，也正好按照规定工期完成，则生产这批A部件的规定工期为多少天？

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23. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $4 \sqrt{2}$ ， $A C 、 B D$ 交于点O ，一动点M从D点出发，沿 $D \to O \to A$ 以每秒2个单位的速度运动到点A时停止，设运动时间为t秒， $y = S_{△ M A D}$ ．

(1)、直接写出y与t的函数关系式，并注明t的取值范围，并在下面的平面直角坐标系中直接画出y的函数图象；

(2)、根据所画的y与t的函数图象，写出该函数的一条性质；；

(3)、已知函数 $y_{1} = \frac{8}{t} (t > 0)$ 的图像如图所示，结合你所画的函数图象，直接估计当 $y \leq y_{1}$ 时t的取值范围：．（结果保留1位小数，误差不超过 $0.2$ ）

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24. 如图，一条自西向东的道路上有两个公交站点，分别是 $B$ 和 $C$ ，在 $B$ 的北偏东 $60 °$ 方向上有另一公交站点 $A$ ．经测量， $A$ 在 $C$ 的北偏西 $30 °$ 方向上，一辆公交车从 $B$ 出发，沿 $B C$ 行驶 $(1500 \sqrt{3} - 1500)$ 米到达 $D$ 处，此时 $D$ 在 $A$ 的西南方向．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

(1)、求 $C D$ 的距离；（结果保留根号）

(2)、该公交车原计划由 $D \to C$ 行驶，其平均速度为 $400$ 米 $/$ 分，但当行驶到 $D$ 点时，接到通知， $D C$ 段道路正在维修，需要沿 $D \to A \to C$ 绕道行驶，为了尽快到达 $C$ 站点，绕道时其平均速度提升到 $500$ 米 $/$ 分．那么原计划所用时间和实际所用时间相比，哪个更少？请说明理由．（结果保留 $1$ 位小数）

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25. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{6} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{6} x + 3$ 与x轴交于点A ， B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ，抛物线的对称轴与直线 $B C$ 的交点为E ．

(1)、如图1，求直线 $B C$ 的表达式；

(2)、如图1，点P是直线 $B C$ 上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线 $B C$ 于点Q ，过点P作x轴的平行线交直线 $B C$ 于点H ，求 $△ P Q H$ 周长的最大值和此时P点的坐标；

(3)、如图2，将抛物线沿射线 $B C$ 方向平移4个单位得到新抛物线 $y^{'}$ ，新抛物线 $y^{'}$ 与坐标轴y轴交于点M ．点D与点C关于x轴对称，连接 $B D$ ，将 $△ B C D$ 沿直线 $A C$ 平移得到 $△ B^{^{'}} C^{^{'}} D^{^{'}}$ ．平移过程中，在直线 $M E$ 上是否存在点N ，使得N ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ ， $D^{'}$ 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出N点的坐标，并写出求解其中一个N点坐标的过程．

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ，点E为 $A B$ 边上一点，连接 $C E$ ．

(1)、如图1，若 $∠ A C B = 90 °$ ， $C E = \sqrt{26}$ ， $A E = 4$ ，求线段BE的长；

(2)、如图2，若 $∠ A C B = 60 °$ ，G为 $B C$ 边上一点且 $E G ⊥ B C$ ， F为 $E G$ 上一点且 $E F = 2 F G$ ， H为 $C E$ 的中点，连接 $B F$ ， $A H$ ， $A F$ ， $F H$ ．猜想 $A F$ 与 $A H$ 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)、如图3，当 $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B C E = 22.5 °$ 时，将 $C E$ 绕着点E沿顺时针方向旋转90°得到 $E G$ ，连接 $C G$ ．点P、点Q分别是线段 $C B$ 、 $C E$ 上的两个动点，连接 $E P$ 、 $P Q$ ．点H为 $E P$ 延长线上一点，连接 $B H$ ，将 $△ B E H$ 沿直线 $B H$ 翻折到同一平面内的 $△ B R H$ ，连接 $E R$ ．在P、Q运动过程中，当 $E P + P Q$ 取得最小值且 $∠ E H R = 45 °$ ， $A C = \sqrt{10}$ 时，请直接写出四边形 $E Q P R$ 的面积．

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年级	平均数	中位数	众数	方差
七年级	$92$	$93$	$c$	$52$
八年级	$92$	$b$	$100$	$50.4$