四川省成都市成华区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-04-16 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1. 如果 $+ 10 ℃$ 表示零上10度，则零下8度表示为（）

A、 $+ 8 ℃$ B、 $- 8 ℃$ C、 $+ 10 ℃$ D、 $- 10 ℃$

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2. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体占1%，要反映上述信息，宜采用的统计图是（）

A、扇形统计图 B、折线统计图 C、条形统计图 D、频数直方图

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3. 由一个长方体和一个圆柱组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 2023年，我国克服较为严重的自然灾害等多重不利影响，全年粮食产量再创历史新高，全国粮食总产量13908.2亿斤，其中数据“13908.2亿”用科学记数法表示为（）

A、 $139082 \times 1 0^{7}$ B、 $1.39082 \times 1 0^{11}$ C、 $1.39082 \times 1 0^{12}$ D、 $1.39082 \times 1 0^{13}$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $2 a b + 3 b a = 5 a b$ B、 $2 a^{2} b - a b^{2} = a b$ C、 $a + a^{2} = a^{3}$ D、 $4 a - 2 a = 2$

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6. 如图数轴上点 $A ， B ， C ， D$ 分别对应有理数 $a ， b ， c ， d$ ．则下列各式中值最小的是（）

A、 $| a |$ B、 $| b |$ C、 $| c |$ D、 $| d |$

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7. 把一副三角板 $A B C$ （其中 $∠ A B C = 30 °$ ）与 $B D E$ （其中 $∠ D B E = 45 °$ ）按如图方式拼在一起，其中点 $A ， B ， D$ 在同一直线上．若 $B F$ 平分 $∠ C B E ， B G$ 平分 $∠ D B E$ ，则 $∠ F B G =$ （）

A、 $65 °$ B、 $75 °$ C、 $77.5 °$ D、 $85 °$

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8. 用长度相同的小木棍按如图方式拼图案，其中第①个图案用了9根小木棍，第②个图案用了14根小木棍，第③个图案用了19根小木棍，…，按此规律拼下去，则第⑩个图案需要用的小木棍根数为（）

A、39 B、44 C、49 D、54

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二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

9. 高速公路的建设带动我国经济的快速发展，在山区的高速公路建设中，常常要从大山中开挖隧道穿过，目的是把道路取直．其中蕴含的数学道理是．

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10. 若有理数 $a ， b$ 满足 $(a - 2)^{2} + | b + 1 | = 0$ ，则 $b^{a} =$ ．

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11. 如图， $C$ 是线段 $A B$ 上一点， $D$ 是线段 $A C$ 的中点， $E$ 是线段 $B C$ 的中点．若 $D E = 16 c m$ ，则 $A B$ 的长是 $c m$ ．

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12. 《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数有多少．设合伙人数为x人，则根据题意可列一元一次方程为．

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13. 我国著名数学家华罗庚说：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为 $\frac{1}{2} ， \frac{1}{4} ， \frac{1}{8} ， \frac{1}{16} ， ⋯$ 的长方形或正方形纸片，请你用“数形结合”的数学思想计算： $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256} =$ ．

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三、解答题（本大题共5个小题，共48分）

14.

(1)、计算： $(\frac{5}{6} - \frac{3}{14} + \frac{2}{3}) \times (- 42)$ ；

(2)、计算： ${(- \frac{1}{2})}^{2} \times | - 8 | - (- 1 + 5) \times \frac{1}{2}$ ．

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15.

(1)、解方程： $\frac{2 x - 1}{3} - \frac{x + 1}{4} = 4$ ；

(2)、先化简再求值： $3 x^{2} y - [2 x^{2} y - 3 (2 x y - x^{2} y) - x y]$ ，其中 $x = - 1 ， y = - 2$ ．

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16. 为了更好地落实《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》精神，我区教育主管部门对部分初中学生“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查．为便于统计学生每天完成书面作业的时间t（单位：小时），设置了如下四个选项（每个参加随机调查的学生选且只选一项）： $A (t \leq 1) ， B (1 < t \leq 1.5) ， C (1.5 < t \leq 2) ， D (t > 2)$ ．
根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：

(1)、参加此次随机调查的学生共有多少人？选项A的学生人数有多少人？

(2)、在扇形统计图中，求选项D所对应的扇形圆心角的度数；

(3)、我区约有24000名初中学生，那么请估算“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？

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17. 为了美化环境，建设生态成华，某社区需要进行绿化改造．现有甲、乙、丙三个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，丙队每天能完成的绿化改造面积是甲队的 $\frac{4}{5}$ ，甲、乙、丙合作一天能完成1200平方米的绿化改造面积．

(1)、问甲、乙、丙三个工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？

(2)、该社区需进行绿化改造的面积共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，预算发现：甲、乙两队合作完成的费用和甲、乙、丙三队合作完成的费用相等，问丙队每天的施工费用为多少元？

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18. 已知 $∠ A O B = 120 °$ ，射线 $O C$ 在 $∠ A O B$ 的内部， $∠ A O C < 60 °$ ．将射线 $O C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $60 °$ 形成射线 $O D$ ．

(1)、如图1，若 $∠ A O D = 90 °$ ，那么 $∠ A O C$ 和 $∠ B O D$ 的度数相等吗？为什么？

(2)、作射线 $O E$ ，使射线 $O E$ 为 $∠ A O D$ 的平分线．
①如图2，当射线 $O C$ 恰好平分 $∠ A O E$ 时，求 $∠ B O D$ 的度数；
②如图3，设 $∠ A O C = α$ ，试探究 $∠ B O D$ 与 $∠ E O C$ 之间有何数量关系？说明理由．

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四、填空题（每小题4分，共20分）

19. 若a ， b互为相反数，c的立方为8，则 $2 a + 2 b - c$ 的值为．

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20. 由大小相同的小正方体搭成一个几何体，若搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则所需小正方体的最少个数为．

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21. 如果一个长方形内部能用正方形按如图方式既不重叠又无缝隙铺满，就称这个长方形为优美长方形．如图所示的优美长方形 $A B C D$ 的周长为52，则正方形 $E M P Q$ 的边长为．

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22. 在数学创新设计活动中，某创新小组同学设计了一个“回头差”游戏：对依次排列的两个整式 $m ， n$ 进行操作，第1次操作后得到整式串 $m ， n ， n - m$ ；第2次操作后得到整式串 $m ， n ， n - m ， - m$ ；第3次操作后得到整式串 $m ， n ， n - m ， - m ， - n$ ；…其规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差．则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串中各项之和为．

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23. 一个四位正整数，它的千位数字 $a$ 比个位数字 $d$ 大6，百位数字 $b$ 比十位数字 $c$ 大2，且满足 $\frac{3 a + 3 b + c + d}{a - 5}$ 能被10整除，则这个四位正整数的最大值为，最小值为．

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五、解答题（本大题有3个小题，共30分）

24. 对于有理数 $a ， b$ ，定义了一种“ $\otimes$ ”的新运算，具体为： $a \otimes b = {\begin{array}{l} 2 a - b & (a \geq b) ， \\ a - \frac{2}{3} b & (a < b) \end{array}$

(1)、计算：① $2 \otimes (- 1)$ ； ② $(- 4) \otimes (- 3)$ ；

(2)、若 $x = 2$ 是关于 $x$ 的一元一次方程 $3 \otimes m = - 1 + 3 x$ 的解，求 $m$ 的值．

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25. 某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示，请根据表中信息解答下列问题：

阶梯	年用气量 $x (m^{3})$	收费单价
第一阶梯	$0 \leq x \leq 400$ 的部分	2.67元 $/ m^{3}$
第二阶梯	$400 < x \leq 1200$ 的部分	3.15元 $/ m^{3}$
第三阶梯	$1200 m^{3}$ 以上的部分	3.63元 $/ m^{3}$
备注：若家庭人口超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加 $100 m^{3} 、 200 m^{3}$ .

(1)、一户3人家庭，若年用气量为

200 m^{3}

，则该年此户需缴纳燃气费用为元；若年用气量为

500 m^{3}

，则该年此户需缴纳燃气费用为元；

(2)、一户不超过4人的家庭，年用气量超过了

1200 m^{3}

，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y；

(3)、甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2023年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3855元，请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2023年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到

1 m^{3}

）？

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26.

(1)、【发现问题】如图，在数阵1中，第1行圆圈中的数为1，即 $1^{2}$ ；第2行两个圆圈中的数和为 $2 + 2$ ，即 $2^{2}$ ；…；第 $n$ 行 $n$ 个圆圈中的数和为 $n + n + n + ⋯ + n$ ，即．这样，数阵1中共有个圆圈，数阵1中所有圆圈中的数之和可以表示为．

(2)、【解决问题】将数阵1旋转可得数阵2，将数阵2旋转可得数阵3，请仔细观察这三个数阵，并结合三个数阵，计算： $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ⋯ + n^{2}$ ．（结果用含 $n$ 的代数式表示）

(3)、【拓展应用】根据以上发现，计算： $\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ⋯ + 202 4^{2}}{1 + 2 + 3 + ⋯ + 2024}$ ．

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