四川省广元市朝天区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-16 类型：期末考试

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一、单选题（每小题3分，共30分）

1. 下列标志既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一元二次方程 $x^{2} + 2 x = 0$ 的根是（）

A、 $x_{1} = x_{2} = 0$ B、 $x_{1} = x_{2} = - 2$ C、 $x_{1} = 0 ， x_{2} = 2$ D、 $x_{1} = 0 ， x_{2} = - 2$

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3. 下列事件属于随机事件的是（）

A、标准大气压下，温度降到0℃以下时，自来水会结冰 B、随意打开一本书，书的页码是奇数页 C、任意一个五边形的外角和为 $540 °$ D、如果 $a = b$ ，那么 $a^{2} = b^{2}$

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4. 如图，将三角形 $A B C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转一定的角度得到三角形 $B^{'} C^{'} C$ ，此时点 $A$ 在边 $B^{'} C$ 上．若 $B C = 5 ， A C = 3$ ，则 $A B^{'}$ 的长为（）

A、4 B、3 C、2.5 D、2

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5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x ，则所列方程正确的是（）

A、 $16 {(1 + x)}^{2} = 23$ B、 $23 {(1 - x)}^{2} = 16$ C、 $23 - 23 {(1 - x)}^{2} = 16$ D、 $23 {(1 - 2 x)}^{2} = 16$

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6. 如图，已知 $A B 、 A D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $∠ B = 30 °$ ，连接 $D O$ 并延长交 $A B$ 于点 $C ， ∠ D = 20 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数是（）

A、60° B、80° C、100° D、120°

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7. 下表中列出的是一个二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的自变量 $x$ 与函数 $y$ 的几组对应值：
$x$
…
$- 2$
0
1
3
…
$y$
…
6
$- 4$
$- 6$
$- 4$
…
下列各选项中，正确的是（）

A、这个函数的图象开口向下 B、当 $x > 1 ， y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大 C、这个函数的最小值等于 $- 6$ D、一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有一个实数根 $x$ 满足 $- 2 < x < 0$

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8. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，连接 $A C ， C E ， A E$ ，若 $A C = 2 \sqrt{3}$ ，则正多边形 $A B C D E F$ 的面积是（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ A B C = 60 ° ， B C = 6$ ，点 $O$ 为 $A C$ 中点，点 $D$ 为线段 $A B$ 上的动点，连接 $O D$ ，设 $B D = x ， O D^{2} = y$ ，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在正方形 $O A B C$ 中，点 $B$ 的坐标是 $(6 ， 6)$ ，点 $E 、 F$ 分别在边 $B C 、 B A$ 上， $O F = 2 \sqrt{10}$ ．若 $E O$ 平分 $∠ C E F$ ．则 $E$ 点的横坐标是（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{10} - 1$

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二、填空题（每小题4分，共24分）

11. 小林把一枚质地均匀的正方体骰子随机掷一次（骰子的每个面上分别标有1、2、3、4、5、6，）把掷得的点数记为 $r$ ，在平面内，以点 $O$ 为圆心， $r$ 为半径作 $⊙ O$ ，如果 $O P = 3$ ，那么掷出的点数使 $P$ 点在圆内的概率是．

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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + 6 = 0$ 的一个根为3，则方程的另一个根是．

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13. 用一个圆心角为120°，半径为 $6 c m$ 的扇形制作一个圆雉的侧面，这个圆雉的底面半径为cm．

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14. 在平面直角坐标系中，将抛物线 $y = - 2 x^{2} + 4$ 先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的对应函数解析式为．

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15. 在如图所示的圆中， $D$ 是半圆的中点， $E$ 是弧 $\overset{⌢}{C D}$ 的三等分点， $P$ 是直径 $A C$ 上的任意点，若 $A O = 2$ ，则 $E P + P D$ 的最小值为．

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16. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为： $A (- 2 ， 0) ， B (1 ， 2) ， C (1 ， - 2)$ ．已知 $N (- 1 ， 0)$ ，作点 $N$ 关于点 $A$ 的对称点 $N_{1}$ ，点 $N_{1}$ 关于点 $B$ 的对称点 $N_{2}$ ，点 $N_{2}$ 关于点 $C$ 的对称点 $N_{3}$ ，点 $N_{3}$ 关于点 $A$ 的对称点 $N_{4}$ ，点 $N_{4}$ 关于点 $B$ 的对称点 $N_{5} ， ⋯$ ，依此类推，则点 $N_{2023}$ 的坐标为．

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三、解答题（共10题，共96分）

17. 按要求解下列方程

(1)、 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ （配方法）

(2)、 $2 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ （公式法）

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18. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + (2 m + 1) x + m = 0$ 有实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围．

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程的根，且 $x_{1} + x_{2} = - m - 3$ ，求 $m$ 的值．

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19. 如图，在 $R t △ A C B$ 中， $A C = B C$ ，点 $D$ 是 $A B$ 上任意一点，连接 $C D$ ，将 $C D$ 绕着点 $C$ 逆时针旋转90°，点 $D$ 的对应点是点 $E$ ，连接 $B E ， D E$ ．

(1)、求 $∠ A B E$ 的度数．

(2)、在旋转过程中，如果 $A D = 3 ， C D = 5$ ，求 $B D$ 的值．

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20. 某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心APP”宣传推广活动，截至2023年底，注册人数已达216.39万人。某社区工作人员为调查本社区居民对于“国家反诈中心APP”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷调查共设10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（80—100分）、B：比较了解（60—79分）、C：基本了解（40—59分）、D：不太了解（0—39分）四个等级并绘制了如下两幅不完成的统计图．

根据以上图标回答下面的问题：

(1)、在扇形统计图中，A等级对应的扇形圆心角为 ▲ ，补全条形统计图；

(2)、若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反炸中心APP”问卷调查得分不低于60分的人数；

(3)、为了更好的开展“国家反诈中心APP”宣传推广工作，社区准备招募两名宣讲人员，现有问卷调查为A的4人报名，其中男性1人，女性3人，若从中随机选取2人，求选取的为1男1女的概率．

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21. 如图，有一段15米的旧围墙 $A B$ ，现打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用32米的篱笆围成一个长方形的场地 $C D E F$ ．

(1)、怎样围成一个面积为 $126 m^{2}$ 的长方形场地？

(2)、能够围成一个面积为 $130 m^{2}$ 的长方形场地吗？如果能请你给出设计方案，如果不能，请说明理由．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线： $y = (x - 1)^{2} + n$ ．

(1)、若抛物线经过 $A (- 1 ， 0)$ ，求抛物线与 $x$ 轴的另一个交点 $B$ 的坐标；

(2)、已知点 $C (\frac{1}{2} ， 4)$ 点 $D (4 ， 4)$ ，当抛物线 $y = (x - 1)^{2} + n$ 与线段 $C D$ 只有一个交点时，求 $n$ 的取值范围．

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23. 春节前，某厂家准备将一件工艺品投放市场，其成本价为60元/件，在试销过程中发现每天的销量y（件）与售价x（元）满足如图所示的函数关系．

(1)、写出y与x的函数关系式．

(2)、春节期间，该商品将正式上市销售，同时厂家规定每天的销售量不低于150件，请你制定一种销售策略：当售价定为多少时商家获得最大利润，并求出最大利润？

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24. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $C D ⊥$ 弦 $A B$ 于点 $E$ ，点 $P$ 是 $C D$ 延长线上一点，连接 $P B ， B D ， B D$ 平分 $∠ A B P$ ．

(1)、求证： $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、连接 $A P$ ，延长 $B D$ 交 $A P$ 于点 $F$ ，若 $B D ⊥ A P$ ， $D F = \sqrt{3}$ ，求图中阴影部分面积．

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25.

(1)、问题发现：在学习了全等三角形之后，同学们通过实验归纳发现了下面的数学模型：
如图1、2，当 $∠ A D B = ∠ B A C = ∠ A E C = α ， A B = A C$ 时 $(0 ° < α < 180 °) ， △ A D B ≌ △ C E A$ ，请就上面的发现任选一图说明理由．

(2)、问题思考：如图3，在 $△ A B C$ 中，分别以 $A B ， A C$ 为直角边向外作等腰 $R t △ A B D$ ，等腰 $R t △ A C E$ ，连接 $D E$ ，过 $A$ 作 $A N ⊥ B C$ 交 $D E$ 于 $M$ 点，求证 $A M$ 是 $△ A E D$ 的中线．

(3)、解决问题：在（2）的条件下，如果 $A C = 6$ ，将等腰 $R t △ A C E$ 绕着点 $A$ 逆时针旋转360°，请画出点 $M$ 的运动轨迹并求出运动路径的长．

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26. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， B ，与 $y$ 轴交于 $C (0 ， 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、点 $D$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上的一动点， $D E ⊥ B C ， D F ∥ y$ 轴，在抛物线上是否存在一点 $D$ 使 $△ D E F$ 的周长最大，如果存在，求出周长的最大值．

(3)、在抛物线上是否存在 $M$ 点，使 $∠ A M B = 45 °$ ，若存在，求出 $M$ 点的坐标，如果不存在请说明理由．

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$x$	…	$- 2$	0	1	3	…
$y$	…	6	$- 4$	$- 6$	$- 4$	…