四川省广元市剑阁县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-04-16 类型：期末考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意，请将符合题意的选项的字母填写在答题卡上。

1. 在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、斐波那契螺旋线 B、笛卡尔心形线 C、赵爽弦图 D、科克曲线

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2. 关于一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 3 = 0$ 根的情况，下列说法中正确的是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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3. 下列事件中，是随机事件的是（）

A、三角形中任意两边之和大于第三边 B、太阳从东方升起 C、车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D、一个有理数的绝对值为负数

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4.
如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（　　）

A、60° B、85° C、75° D、90°

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5. 关于抛物线 $y = - x^{2} - 2 x + 3$ ，下列说法不正确的是（）

A、图像开口向下 B、顶点坐标是 $(- 1 ， 4)$ C、对称轴是直线 $x = - 1$ D、当 $x > - 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大

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6. 如图， $P A ， P B$ 分别切 $⊙ O$ 于点 $A ， B$ ，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，且 $∠ P = 36 °$ ，则 $∠ A C B =$ （）

A、 $54 °$ B、 $72 °$ C、 $108 °$ D、 $144 °$

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7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是 $x$ ，则所列方程正确的是（）

A、 $23 {(1 - x)}^{2} = 18.63$ B、 $18.63 {(1 + x)}^{2} = 23$ C、 $18.63 {(1 - x)}^{2} = 23$ D、 $23 (1 - 2 x) = 18.63$

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8. 如图，以 $(1 ， - 4)$ 为顶点的二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴负半轴交于 $A$ 点，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的正数解的范围是（）

A、 $2 < x < 3$ B、 $3 < x < 4$ C、 $4 < x < 5$ D、 $5 < x < 6$

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9. 如图， $⊙ O$ 与正六边形 $O A B C D E$ 的边 $O A 、 O E$ 分别交于点 $F 、 G$ ，点 $M$ 为劣弧 $F G$ 的中点．若 $F M = 2 \sqrt{2}$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、2 B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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10. 已知二次函数 $y = a {(x - 1)}^{2} - a (a \neq 0)$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时， $y$ 的最小值为－4，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或4 B、 $\frac{4}{3}$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ 或4 D、 $- \frac{1}{2}$ 或4

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二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。把正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。

11. 若把二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 2$ 化为 $y = {(x - h)}^{2} + k$ 的形式，其中 $h ， k$ 为常数，则 $h + k =$ ．

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12. 在如图所示的电路图中，当随机闭合开关 $A 、 B 、 C$ 中的任意一个时，能够使小灯泡发光的概率为．

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13. 已知点P为平面内一点，若点P 到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O 的半径为．

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14. 一个不透明的箱子里装有 $m$ 个球，其中红球4个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则可以估算出 $m$ 的值为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 6 ， ∠ B A C = 50 °$ ，以 $A B$ 为直径作半圆，交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，则弧 $D E$ 的长为（结果保留 $π$ ）。

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16. 在如图所示的平面直角坐标系中， $△ O A_{1} B_{1}$ 是边长为2的等边三角形，作 $B_{2} A_{2} B_{1}$ 与 $△ O A_{1} B_{1}$ 关于点 $B_{1}$ 成中心对称，再作 $△ B_{2} A_{3} B_{3}$ 与 $△ B_{2} A_{2} B_{1}$ 关于点 $B_{2}$ 成中心对称，…，如此作下去，则 $△ B_{2024} A_{2024} B_{2023}$ 的顶点 $A_{2024}$ 的坐标是．

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三、解答题：（本大题共10个小题，共96分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

17. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x - 4 = 0$

(2)、 $3 x (x - 2) = 2 x - 4$

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18. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B 、 C D$ 是直径， $C E ∥ A B$ 且交圆于 $E$ ，求证： $\overset{⌢}{B D} = \overset{⌢}{B E}$ ．

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19. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 a x - 3 = 0$

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根。

(2)、已知该方程的两个根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且满足 $x_{1} x_{2} = x_{1} + x_{2}$ ，求 $a$ 的值．

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20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， $△ A B C$ 与 $△ D F E$ 关于点 $O$ 成中心对称， $△ A B C$ 与 $△ D F E$ 的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．

(1)、在图中画出点 $O$ 的位置；

(2)、将 $F E$ 绕点 $F$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $F E^{'}$ ，求线段 $F E$ 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $π$ ）

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21. 如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E ．连接AC、OC、BC．

(1)、试说明： $∠ B C O = ∠ A C D$ ；

(2)、若 $A E = 4 ， B E = 16$ ，求弦 $C D$ 的长．

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22. 目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利．某校九年级某数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了 $m$ 人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．

(1)、根据图中信息求出 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、请你帮助他们将这两个统计图补全；

(3)、已知A ， B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两名同学最认可的新生事物不一样的概率．

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23. 为充分利用现有资源，某校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉．如图，矩形地 $A B C D$ 一面靠墙（墙的长度为 $12 m$ ），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏 $E F$ 把它分成两个面积相等的矩形．已知栅栏的总长度为 $27 m$ ．

(1)、若矩形地 $A B C D$ 的面积为 $42 m^{2}$ ，求 $A B$ 的长；

(2)、当 $A B$ 边为多少时，矩形地 $A B C D$ 的面积最大，最大面积是多少？

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24. 如图，以四边形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 为直径作圆，圆心为 $O$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ C D$ 的延长线于点 $E$ ，已知 $D A$ 平分 $∠ B D E$ ．

(1)、求证： $A E$ 是 $⊙ O$ 切线；

(2)、若 $A E = 4 ， C D = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径和 $A D$ 的长．

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25. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， A B = B C$ ，点 $D$ 为 $B C$ 边上任意一点（与 $B 、 C$ 不重合），以 $B D$ 为直角边构造等腰直角三角形 $B D E ， F$ 为 $A D$ 的中点．

(1)、如图2，将 $△ B D E$ 绕点 $B$ 旋转，当点 $E$ 与 $F$ 重合时，求证： $∠ B A E + ∠ B C D = 45 °$ ；

(2)、如图3，将 $△ B D E$ 绕点 $B$ 旋转，当点 $F$ 在 $B E$ 上且 $A B = A D$ 时，求证： $2 C D = B E$ ．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，点A在原点的左侧，点 $B$ 的坐标为 $(3 ， 0)$ ，点 $P$ 是抛物线上一个动点，且在直线 $B C$ 的上方．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、当点 $P$ 运动到什么位置时， $△ B P C$ 的面积最大？请求出点 $P$ 的坐标和 $△ B P C$ 面积的最大值．

(3)、连接 $P O ， P C$ ，并把 $△ P O C$ 沿 $C O$ 翻折，得到四边形 $P O P^{'} C$ ，那么是否存在点 $P$ ，使四边形 $P O P^{'} C$ 为菱形？若存在，请求出此时点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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