吉林省吉林市舒兰市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-04-16 类型：期末考试

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一、选择题（每小题2分，共12分）

1. 在 $- 2$ ， $- 1$ ， $0$ ， $1$ 这四个数中，最小的数是（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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2. 图①是由五个完全相同的小正方体组成的立体图形．将图①中的一个小正方体改变位置后得到图②，则三种视图发生改变的是（）

A、主视图 B、俯视图 C、左视图 D、主视图、俯视图和左视图都改变

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3. 下列运算中，正确的是（）

A、 $x^{3} + x^{4} = x^{7}$ B、 $x^{4} \cdot x^{3} = x^{12}$ C、 ${(x^{3})}^{2} = x^{9}$ D、 $x^{4} \div x^{3} = x$

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4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为（）

A、42° B、48° C、52° D、58°

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5. 如图， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A ， O B$ 与 $⊙ O$ 相交于点 $C$ ，点 $D$ 是优弧 $A C$ 上一点．若 $∠ C D A = 27 °$ ，则 $∠ B$ 的大小为（）

A、 $27 °$ B、 $36 °$ C、 $54 °$ D、 $63 °$

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6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影子长五寸（提示：1丈 $= 10$ 尺，1尺 $= 10$ 寸），则竹竿的长为（）

A、五丈 B、四丈五尺 C、一丈 D、五尺

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二、填空题（每小题3分，共24分）

7. 计算： $\sqrt{8} - \sqrt{2}$ = ．

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8. 分解因式： $2 a^{2} - 6 a =$ ．

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9. 不等式 $\frac{x - 3}{2} \geq - 2$ 的解集是．

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10. 一元二次方程 $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 的根的判别式 $Δ$ 0．（填“ $>$ ”“ $=$ ”或“ $<$ ”）

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11. 如图， $A B ∥ C D ， C B ∥ D E$ ，若 $∠ B = 72 °$ ，则 $∠ D$ 的大小为．

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12. 如图，正五边形 $F G H I J$ 的顶点在正五边形 $A B C D E$ 的边上，若 $∠ A F J = 20 °$ ，则 $∠ C G H$ 的大小为度．

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13. 如图， $B D$ 是 $□ A B C D$ 的对角线， $E$ 是边 $A D$ 上的点，且 $A E = \frac{1}{2} D E$ ，连接 $C E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ．若 $△ D E F$ 的面积为2，则四边形 $A B F E$ 的面积为．

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14. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 是弦，过点 $A$ 的切线交 $B D$ 的延长线于点 $C$ ．若 $A B = A C = 4$ ，则图中阴影部分图形的面积和是．

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三、解答题（本题共12小题，共84分）

15. 先化简，再求值： $\frac{x^{2}}{x - 2} + \frac{4}{2 - x}$ ，其中 $x = \sqrt{3} - 2$ ．

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16. 现有一副扑克牌中的三张牌，牌面数字分别为 $6 ， 8 ， 8$ ，将这三张牌背面朝上洗匀后，先从中随机抽取一张牌，记下数字后放回洗匀，再随机抽取一张牌，记下数字．请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张牌牌面数字相同的概率．

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17. 为了改善学校的环境，某中学组织团员植树150棵．实际参加植树的团员人数是原计划参加植树的团员人数的1.5倍，结果实际人均植树的棵数比原计划少1棵．求原计划参加植树的团员人数．

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18. 如图，边长为2的正方形 $A B C O$ 的顶点 $C ， A$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴上，函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $B$ ．把正方形 $A B C O$ 沿 $B C$ 翻折得到正方形 $B C F D$ ， $D F$ 交函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $E$ ．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、求点 $E$ 的坐标．

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19. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O ， C D = 10 ， O D = 6$ ，过点 $C$ 作 $C E ∥ D B$ ，过点 $B$ 作 $B E ∥ A C ， C E$ 与 $B E$ 相交于点 $E$ ．

(1)、求 $O C$ 的长；

(2)、求四边形 $O B E C$ 的面积．

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20. 某大学食堂为了让本校学生在端午节尽量吃到喜爱口味的粽子，随机抽取了 $n$ 名学生，对学生选择四种口味粽子的情况进行了问卷调查，每个被调查的学生都选择了其中一种粽子．食堂将收集到的数据整理并绘制成如图所示的统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求扇形统计图中“葡萄干馅”所在的扇形的圆心角度数；

(3)、根据上述统计结果，估计该校18500名学生中喜欢蜜枣馅粽子的人数．

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21. 图①、图②、图③均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．

(1)、在图①、图②中，以格点为顶点，线段 $A B$ 为一边，分别画一个平行四边形和一个菱形，并直接写出它们的面积；（要求两个四边形不全等）

(2)、在图③中，以点 $A$ 为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形，并直接写出它的面积．
①面积为 ▲ ． ②面积为 ▲ ． ③面积为 ▲ ．

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22. 如图，某数学兴趣小组为了测量学校旗杆 $A B$ 的高度，他们在旗杆对面的实验楼的顶部 $C$ 处测得旗杆顶端 $A$ 的仰角为 $46 °$ ，测得旗杆底端 $B$ 的俯角为 $32 °$ ，同时测量了旗杆底端与实验楼的水平距离 $B D$ 长为9.5米．求旗杆 $A B$ 的高．（结果精确到0.1米，参考数据： $s i n 32 ° \approx 0.53 ， c o s 32 ° \approx 0.85 ， t a n 32 ° \approx 0.62 ， s i n 46 ° \approx 0.72 ， c o s 46 ° \approx 0.69 ， t a n 46 ° \approx 1.04$ ）

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23. 某玩具厂加工了一批玩具“六一”捐赠给儿童福利院．甲、乙两车间同时开始加工这批玩具，加工一段时间后，甲车间的设备出现故障停产一段时间，乙车间继续加工，甲维修好设备后继续按照原来的工作效率加工，从工作开始到加工完这批玩具乙车间工作9小时．甲、乙两车间加工玩具的总数量 $y$ （件）与加工时间 $x$ （时）之间的函数图象如图所示．

(1)、求乙车间每小时加工玩具的数量；

(2)、求甲车间维修完设备后， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(3)、求加工完这批玩具总数量的一半时所用的时间．

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24. 定义：在三角形中，把一边的中点到这条边的高线的距离叫做这条边的中垂距．
例：如图①，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 的中点， $A E ⊥ B C$ 于 $E$ ，则线段 $D E$ 的长叫做边 $B C$ 的中垂距．

(1)、设三角形一边的中垂距为 $d (d \geq 0)$ ．若 $d = 0$ ，则这样的三角形一定是，推断的数学依据是．

(2)、如图②，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 ° ， A B = 3 \sqrt{2} ， B C = 8 ， A D$ 为边 $B C$ 的中线，求边 $B C$ 的中垂距．

(3)、如图③，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 ， A D = 4$ ．点 $E$ 为边 $C D$ 的中点，连接 $A E$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $A C$ ．求 $△ A C F$ 中边 $A F$ 的中垂距．

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25. 如图（1），在 $△ A B C$ 中， $A D = C D = 3 ， B D = 4 ， A D ⊥ B C$ ，直线 $l ⊥ A D$ 于点 $G$ ，分别交 $A B ， A C$ 于点 $M ， N$ ．点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿 $B C$ 以每秒 $\frac{7}{3}$ 个单位长度的速度向终点 $C$ 运动．同时直线 $l$ 从点 $A$ 出发，沿 $A D$ 以每秒1个单位长度的速度向终点 $D$ 运动．以 $M N$ 为边向下作正方形 $M N E F$ ，连接 $P N$ ，点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

(1)、 $A B$ 的长为个单位长度．

(2)、当点 $P$ 落在直线 $M F$ 上时，求 $t$ 的值．

(3)、设正方形 $M N E F$ 与四边形 $M N P B$ 重叠部分图形的面积为 $S (S > 0)$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式．

(4)、如图②，连接 $P E ， P F$ ，设 $△ P E F$ 的面积与正方形 $M N E F$ 的面积比为 $k$ ．当 $\frac{1}{3} \leq k \leq \frac{1}{2}$ 时，直接写出 $t$ 的取值范围．

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26. 如图①，在平面直角坐标系中， $∠ A O B = 90 °$ ，等腰直角三角形 $O A B$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 2)$ ，点 $B$ 在第四象限，边 $A B$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，点 $M ， R$ 分别是线段 $O A ， A C$ 的中点，过点 $M$ 的抛物线 $y = x^{2} + 2 m x + n$ （ $m ， n$ 为常数）的顶点为 $P$ ．

(1)、点 $M$ 的坐标为，用含 $m$ 的代数式表示 $n$ 为 $n =$ ．

(2)、如图②，点 $N$ 为 $B C$ 中点，当抛物线 $y = x^{2} + 2 m x + n$ 经过点 $N$ 时．
①求该抛物线所对应的函数表达式；
②若点 $E$ 在该抛物线上，点 $F$ 在线段 $O A$ 上，当以 $M R$ 和 $E F$ 为对边的四边形是平行四边形时，求点 $E$ 的坐标．

(3)、当点 $P$ 在等腰直角三角形 $O A B$ 的边上或内部，且抛物线 $y = x^{2} + 2 m x + n$ 与 $M R$ 有且只有一个公共点时，直接写出 $m$ 的取值范围．

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