四川省遂宁市蓬溪县2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-04-16 类型：期末考试

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一、选择题：（本大题15个小题，每小题3分，共45分）

1. 式子 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x > 0$ B、 $x > 1$ C、 $x ≥ 1$ D、 $x \leq 1$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2} \times \sqrt{3} = 6 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 2$ D、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$

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3. 若 $\frac{y}{x} = \frac{3}{4}$ ，则 $\frac{x - y}{x}$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{7}{4}$

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4. 在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（）

A、2，3，4，5 B、1，3，6，12 C、1.5，2，3.5，4 D、4，5，8，10

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5. 下列说法中错误的是（）

A、“明天降雨的概率是 $80 %$ ”表示明天有 $80 %$ 的时间都在降雨 B、从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件 C、为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式 D、掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是2的概率是 $\frac{1}{6}$

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6. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ ，配方正确的是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 2)}^{2} = - 2$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 6$

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7. 一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程（）

A、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 756$ B、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 756$ C、 $x (x - 1) = 756$ D、 $x (x + 1) = 756$

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8. 等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根，则这个等腰三角形的周长为（）

A、8 B、10 C、8或10 D、不能确定

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9. 如果两个相似三角形的周长之比为 $5 ： 7$ ，那么这两个三角形的面积之比为（）

A、 $5 ： 7$ B、 $7 ： 5$ C、 $25 ： 49$ D、 $49 ： 25$

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10. 如图， $A D ∥ B E ∥ C F$ ，点B ， E分别在 $A C$ ， $D F$ 上， $\frac{A B}{B C} = \frac{2}{3}$ ， $E F = 6$ ， $D F$ 的长（　　）

A、3 B、4 C、5 D、10

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11. 如图，点D是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的一点，连接 $D C$ ，则下列条件中不能判定 $△ A B C ∽ △ A C D$ 的是（）

A、 $∠ B = ∠ A C D$ B、 $∠ A D C = ∠ A C B$ C、 $\frac{A C}{C D} = \frac{A B}{B C}$ D、 $\frac{A C}{A D} = \frac{A B}{A C}$

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12. 如图， $C D$ 是 $△ A B C$ 的中线，E ， F分别是 $A C ， D C$ 的中点， $E F = 3$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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13. 如图，一架人字梯，若 $A B = A C$ ，梯子离地面的垂直距离 $A D$ 为2米， $A C$ 与地面 $B C$ 的夹角为 $α$ ，则两梯脚之间的距离 $B C$ 为（）

A、 $2 t a n α$ 米 B、 $\frac{2}{t a n α}$ 米 C、 $4 t a n α$ 米 D、 $\frac{4}{t a n α}$ 米

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14. 如图，点P是△ABC的重心，若△ABC的面积为12，则△BPC的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A E$ 平分 $∠ C A B$ ，交 $B C$ 于点E ，将 $△ A B E$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ C B F$ ，延长 $A E$ 交 $C F$ 于点G ，连接 $B G 、 D G ， D G$ 交 $A C$ 于点H ．
下列结论① $B E = B F$ ；② $∠ A C F = ∠ F$ ；③ $B G ⊥ D G$ ；④ $\frac{A E}{D H} = \frac{\sqrt{2}}{1}$
正确的是（）

A、①②③④ B、②③ C、①③ D、①②④

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二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）

16. 比较大小： $\sqrt{48}$ $7$ （填 $>$ ， $<$ 或 $=$ ）．

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17. 如果最简二次根式 $\sqrt{2 x - 1}$ 与 $\sqrt{12}$ 是同类二次根式，那么x的值为.

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18. 已知方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $(x_{1} + 2) \cdot (x_{2} + 2)$ 的值为．

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19. 在△ABC中，AB=6，AC=9，点D在边AB所在的直线上，且AD=2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为．

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20. 如图．A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将 $△ A B C$ 绕着点A逆时针旋转得到 $△ A C^{'} B^{'}$ ，则 $s i n B^{'}$ 的值为．

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21. 如图，矩形 $O A B C$ 在平面直角坐标系中，点B的坐标是 $(- 2 ， 1)$ ，过点A作 $A B_{1} ∥ O B$ 交 $x$ 轴于 $B_{1}$ ，过点 $B_{1}$ 作 $A_{1} B_{1} ⊥ x$ 轴交直线 $A C$ 于 $A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作直线 $A_{1} B_{2}$ 交 $x$ 轴于 $B_{2}$ ，过点 $B_{2}$ 作 $A_{2} B_{2} ⊥ x$ 轴交直线 $A C$ 于 $A_{2}$ ，则 $A_{2023}$ 的坐标是．

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三、解答题：（本大题8个小题，共81分）

22. 计算

(1)、 $t a n 60 ° - {(- 1)}^{2023} + 2 c o s 45 ° - {(\sqrt{2})}^{0}$

(2)、 $\sqrt{12} \times \sqrt{\frac{1}{6}} + | \sqrt{8} - 3 | + {(\sqrt{2})}^{- 1}$

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23. 用适当的方法解方程

(1)、 ${(x + 5)}^{2} = 2 (x + 5)$

(2)、 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

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24. 如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1 ， 2)$ ， $B (3 ， 1)$ ， $C (2 ， 3)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，将 $△ A B C$ 放大为原来的2倍得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．

(1)、在图中第一象限内画出符合要求的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；（不要求写画法）

(2)、计算 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积；

(3)、 $△ A B C$ 内有一点 $P (m ， n)$ ， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 内与 $P$ 点对应的点 $P^{'}$ 的坐标为．

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25. 为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：
A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母 $A$ ， $B$ ， $C$ ，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．

(1)、求小亮从中随机抽到卡片 $A$ 的概率；

(2)、请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片 $C$ 的概率．

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26. 已知，关于x的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ．

(1)、若 $x = 1$ 是该方程的一个根，求k的值及另一个根；

(2)、若该方程有两个实数根，若 $x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} = 3$ ，求k的值；

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27. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售300个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到432个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变．

(1)、求2、3两个月的销售量月平均增长率；

(2)、从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价 $0.5$ 元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利2880元？

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28. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔 $A B$ 的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡 $C E$ 的底部点C处，然后沿斜坡 $C E$ 前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度 $i = 1 ： \sqrt{3}$ ，且点A，B，C，D，E在同一平面内．

(1)、求D到 $B C$ 的距离．

(2)、求古塔 $A B$ 的高度（结果保留根）．

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29.

(1)、【初步探究】把矩形纸片 $A B C D$ 如图①折叠，当点B的对应点 $B^{'}$ 在 $M N$ 的中点时，填空： $△ E B^{'} M$ $△ B^{'} A N$ （“ $≌$ ”或“ $∽$ ”）．

(2)、【类比探究】
如图②，当点B的对应点 $B^{'}$ 为 $M N$ 上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．

(3)、【问题解决】
在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B C = 6$ ，点E为 $B C$ 中点，点P为线段 $A B$ 上一个动点，连接 $E P$ ，将 $△ B P E$ 沿 $P E$ 折叠得到 $△ B^{'} P E$ ，连接 $D E ， D B^{'}$ ，当 $△ E B^{'} D$ 为直角三角形时， $B P$ 的长为．

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