四川省广安市武胜县2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-04-16 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上）

1. 二次函数 $y = - x^{2} + 5 x$ 的图像的开口方向是（）

A、向左 B、向右 C、向上 D、向下

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2. 元至元四年（公元1267年），取“以武力胜南宋”之意，设置武胜军（与县同级），武胜县县名由此而来．下列数字图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若方程 $x^{2} + m x = 3 x + 5$ 化为一元二次方程的一般形式后不含一次项，则 $m$ 的值为（）

A、0 B、 $\pm 3$ C、3 D、 $- 3$

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4. 同一平面内，已知 $⊙ O$ 的直径是 $4 c m$ ，线段 $O P = 3 c m$ ，则点 $P$ 与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、点 $P$ 在 $⊙ O$ 外 B、点 $P$ 在 $⊙ O$ 上 C、点 $P$ 在 $⊙ O$ 内 D、不能确定

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5. 事件“从一个只装有白球和红球的口袋中摸出一个球，这个球是黑球”是（）

A、随机事件 B、必然事件 C、不可能事件 D、无法确定

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6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 有两个实数根，则 $k$ 的值可以是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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7. 设 $A (- 2 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ ， $C (2 ， y_{3})$ 是抛物线 $y = 3 {(x + 1)}^{2} + 4 m$ （m为常数）上的三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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8. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（　　）

A、（x+2）²+（x﹣4）²＝x² B、（x﹣2）²+（x﹣4）²＝x² C、x²+（x﹣2）²＝（x﹣4）² D、（x﹣2）²+x²＝（x+4）²

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9. 如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm ，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（　　）

A、20cm B、15cm C、10cm D、随直线MN的变化而变化

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $A (- 1 ， 0)$ ，与 $y$ 轴的交点 $B$ 在点 $(0 ， - 2)$ 与点 $(0 ， - 3)$ 之间（包含端点），顶点 $D$ 的坐标为 $(1 ， n)$ .则下列结论：① $3 a + c = 0$ ；② $\frac{2}{3} < a < 1$ ；③对于任意实数 $m$ ， $a + b \leq a m^{2} + b m$ 总成立；④关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = n + 1$ 没有实数根.其中结论正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将最简答案填写在答题卡相应位置）

11. 若方程 $a x^{2} + c = 0$ 的解是 $x = 1$ ，则方程 $a {(x - 1)}^{2} + c = 0$ 的解是 $x =$ ．

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12. 某水果公司购进 $10 t$ 岳池双鄢脐橙，希望出售这些脐橙能获得一定利润．在出售脐橙（去掉损坏的脐橙）时，需要先进行“脐橙损坏率”统计，再大约确定每千克脐橙的售价．如表是销售部通过随机取样，得到的“脐橙损坏率”统计表的一部分．估计这批脐橙损坏的概率为．（结果精确到 $0.1$ ）
脐橙总质量 $n / k g$
250
300
350
450
500
损坏脐橙质量 $m / k g$
$24.75$
$30.93$
$35.12$
$44.54$
$50.62$
脐橙损坏的频率 $\frac{m}{n}$
$0.099$
$0.103$
$0.100$
$0.099$
$0.101$

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13. 若关于 $x$ 的函数 $y = x^{a^{2} + 1} - 7 x$ 的图象是抛物线，则 $a$ 的值是．

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14. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，若 $∠ A B C = 15 °$ ，弦 $A C$ 是 $⊙ O$ 内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为．

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15. 设 $α$ ， $β$ 是方程 $x^{2} + x - 18 = 0$ 的两个实数根，则 $α^{2} + 3 α + 2 β$ 的值是．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在 $x$ 轴上，点 $A (1 ， 0)$ ，点 $C (2 ， 2)$ ．将矩形 $A B C D$ 绕点A顺时针旋转，每次旋转 $90 °$ ，当第2023次旋转结束时，点 $C$ 的对应点的坐标是．

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三、解答题（本大题共4小题．第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）

17. 按要求解方程：

(1)、 $x^{2} + 8 x = 9$ （配方法）；

(2)、 ${(2 x + 1)}^{2} - 25 = 0$ （因式分解法）．

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18. 在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 、线段 $M N$ 和线段 $M^{'} N^{'}$ 的位置如图所示．

(1)、画出与 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 对称的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、线段 $M N$ 绕点 $P$ 旋转得到线段 $M^{'} N^{'}$ （点 $M$ ， $N$ 的对应点分别为点 $M^{'}$ ， $N^{'}$ ），作出旋转中心点 $P$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $△ O A B$ 是等边三角形， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{B C}$ ，求 $∠ A B C$ 的度数．

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20. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $B D$ 上两点， $∠ E A F = 45 °$ ，将 $△ A D F$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $△ A B Q$ ，连接 $E Q$ ．求证： $E Q = E F$ ．

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四、实践应用题（本大题共4小题．第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）

21. $H U A W E I M a t e 60 P r o$ 于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量，圆孤对应的弦 $A B$ 长 $80 m m$ ，弓形高 $C D$ 长 $14 m m$ 求半径 $O A$ 的长．

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22. 班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ．晚会结束后，小明摘下了两个灯笼（剩两个灯笼未摘），他每次随机摘下一个灯笼，且摘 $A$ 之前需先摘下 $B$ ，摘 $C$ 之前需先摘下 $D$ ．

(1)、小明第一个摘下的灯笼是 $D$ 灯笼的概率是；

(2)、求小明第二个摘下的灯笼是 $A$ 灯笼的概率．

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23. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 $O A = 3$ m， $C A = 2$ m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系 $y = - 0.4 x + 2.8$ ；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系 $y = a {(x - 1)}^{2} + 3.2$ ．

(1)、求点P的坐标和a的值．

(2)、小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．

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24. 由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元.

(1)、求出这两次价格上调的平均增长率；

(2)、在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包.当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？

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五、推理论证题（9分）

25. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以直角边 $B C$ 为直径的 $⊙ O$ 交斜边 $A B$ 于点 $D$ ．点 $E$ 为边 $A C$ 的中点，连接 $D E$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证：直线 $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ B = 30 °$ ， $⊙ O$ 的半径为2，求阴影部分的面积．

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六、拓展探究题（10分）

26. 如图1，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = - x + 4$ 相交于点B和C ，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A ．

(1)、求抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的解析式；

(2)、如图2，点P为直线 $B C$ 上方抛物线上一动点， $P D ⊥ B C$ 于点D ， $P F ⊥ x$ 轴于点F ，交 $B C$ 于点E ，求 $△ P D E$ 周长的最大值以及点P的坐标；

(3)、在（2）的结论下，将抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 沿射线 $C B$ 方向平移 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ 个单位长度得到新抛物线 $y^{'}$ ，新抛物线的顶点为M ，平面内有一点N ，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标．

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脐橙总质量 $n / k g$	250	300	350	450	500
损坏脐橙质量 $m / k g$	$24.75$	$30.93$	$35.12$	$44.54$	$50.62$
脐橙损坏的频率 $\frac{m}{n}$	$0.099$	$0.103$	$0.100$	$0.099$	$0.101$