四川省达州市渠县2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-04-16 类型：期末考试

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一、单项选择题（下列各题给出的四个答案选项中，只有一个符合题目要求，请把符合要求的答案代号填入下表对应空格内，共10小题，每小题4分，共40分）

1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ B、 $19 x + 9 y = 2$ C、 $x^{2} + \frac{1}{x} + 5 = 0$ D、 $2 x^{2} - 7 x = 1$

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2. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（）

A、菱形的对角线相等 B、矩形的对角线互相垂直 C、菱形的四个角相等 D、正方形的对角线互相垂直平分且相等

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3. 由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（）

A、主视图的面积最小 B、左视图的面积最小 C、俯视图的面积最小 D、三个方向看的视图面积相等

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4. 若 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = 5$ ，且 $a + c + e = 20$ ，则 $b + d + f$ 的值为（）

A、10 B、4 C、 $- 4$ D、 $- 5$

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5. 如图，阳光通过窗口 $A E$ 射到室内，在地面上留下 $3$ 米宽的亮区 $B C$ ，已知亮区 $B C$ 到窗口下的墙脚的距离 $C D = 5$ 米，窗口高 $A E = 1.5$ 米，那么窗口底部离地面的高度 $D E$ 为（）

A、 $2$ 米 B、 $2.5$ 米 C、 $3$ 米 D、 $4$ 米

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6. 对于反比例函数 $y = - \frac{2024}{x}$ ，下列说法错误的是（）

A、图象经过点 $(2 ， - 1012)$ B、当 $x < 0$ 时，y随x的增大而减小 C、图象位于第二、四象限 D、当 $x > 0$ 时，y随x的增大而增大

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7. 下列所给的方程中，没有实数根的是（）

A、 $x^{2} + 9 x = 0$ B、 $3 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ C、 $3 x^{2} - 7 x + 1 = 0$ D、 $4 x^{2} - 5 x + 7 = 0$

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8. 某大型超市今年1月的营业额 $100$ 万元，按计划第一季度的总营业额要达到 $331$ 万元，若该超市2月、3月营业额的月均增长率相同且设为x ，则可列方程为（）

A、 $100 {(1 + x)}^{2} = 331$ B、 $100 {(1 - x)}^{2} = 331$ C、 $331 {(1 - x)}^{2} = 100$ D、 $100 + 100 (1 + x) + 100 {(1 + x)}^{2} = 331$

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9. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4，5，若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的积是6的倍数的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{12}$

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10. 如图点、D在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ ( $k ⟨ 0 ， x ⟩ 0$ )的图象上 $B C ⊥ x$ 轴于点C ， $B A ⊥ y$ 轴于点A ， $D E ⊥ x$ 轴于点E ，且 $O A = 3 ， 4 O E = 3 O C$ ，若 $A D = D E$ ，则k的值为（）

A、 $- 4 \sqrt{15}$ B、 $- 5 \sqrt{15}$ C、 $- 6 \sqrt{15}$ D、 $- 7 \sqrt{15}$

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二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

11. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 10 x + c = 0$ 有一个根为2，则c的值为．

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12. 如图，四边形 $O A B C$ 是菱形， $A C = 12$ ， $O B = 16$ ，则顶点A坐标是．

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13. 如图，乐器上的一根弦 $A B = 80 c m$ ，两个端点 $A ， B$ 固定在乐器板面上，支撑点 $C$ 是靠近点 $B$ 的黄金分割点，支撑点 $D$ 是靠近点 $A$ 的黄金分割点， $C ， D$ 之间的距离为．

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14. 如图， $A B$ 和 $C D$ 表示两根直立于地面的木桩， $A C$ 和 $B D$ 表示起固定作用的两根钢筋， $A C$ 和 $B D$ 的交点为M ，已知 $A B = 4 m ， C D = 10 m$ ，则点M离地面的高度 $M H =$ ．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 $O A B C$ 的顶点B、C在第一象限内，顶点A在y轴上过点反例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象于点D ，若 $\frac{D B}{A D} = \frac{1}{4}$ ，平行四边形 $O A B C$ 的面积为18，则k的值为．

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三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共10小题，满分90分）

16. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x = 0$ ；

(2)、 $7 (x - 5) = 6 x (x - 5)$ ．

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17. 已知m ， n是一元二次方程 $x^{2} - 11 x - 9 = 0$ 的两个实数根．

(1)、求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值．

(2)、求 $m^{2} - 9 m + 2 n + 17$ 的值．

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18. 如右图在正方形网格直角坐标系中每个小方格的边长为1， $△ A B C$ 的各个顶点坐标分别是 $A (6 ， 1) ， B (8 ， 3) ， C (10 ， 0)$ ．

(1)、请在网格图中以点 $P (14 ， 0)$ 为位似中心，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使它与 $△ A B C$ 位似，且相似比为 $2 ： 1$ （要求与 $△ A B C$ 在P点同一侧）；

(2)、请根据作图直接写出 $A_{1} 、 B_{1} 、 C_{1}$ 的坐标；

(3)、求 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的周长．

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19. 某学校在每周下午开展的球类课外活动中，成立了以下四个社团：A．足球，B．篮球，C．排球，D．乒乓球；并且每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中B所占扇形的圆心角为 $108 °$ ．请结合图中所给信息．解答下列问题：

(1)、这次被调查的学生共有人；

(2)、请将条形统计图补充完整；

(3)、若该校共有1200学生加入了社团，请你估计这1200名学生中有多少人参加了篮球社团；

(4)、在乒乓球社团中，甲、乙、丙、丁、戊，这五人在平时的活动中表现非常优秀，而且这五位同学中恰好有三名是男同学，两名是女同学；现决定从这五人中任选两名参加全县乒乓球大赛，请用画树状图或列表的方式求恰好选中一男一女的概率．

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20. 如图已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象和一次函数 $y = a x + b$ 的图象相交于 $A (- 4 ， n)$ ， $B (2 ， - 6)$ 两点．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、根据图像直接写出不等式 $a x + b < \frac{k}{x}$ 的解集．

(3)、求 $△ A B O$ 面积．

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21. 如图所示，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 20 c m$ ， $B C = 40 c m$ ，点E在线段 $D A$ 上运动，方向由D向A每秒走 $4 c m$ ，点F在线段 $C D$ 上运动，方向由C向D每秒走 $2 c m$ ，当两点之一到达终点则停止运动；请问它们同时出发多少秒时，以D、E、F为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似？

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22. 利用方程解决实际问题：某大型百货商场第21题图将进货价为40元的水杯以50元售出，平均每月能售出500个，调查表明：售价在50元至70元范围内，这种水杯的售价每上涨5元，其销售量就将减少50个，为了实现平均每月8000元的销售利润，这种水杯的售价应定为多少？这时应进水杯多少个？

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23. 在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法并利用灯光下的影子长来测量一路灯高度；如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点 $B$ 处时，乙测得甲直立时身高 $B E$ 的影子 $A B$ 长是 $3.6 m$ ，然后甲从 $B$ 出发沿 $A C$ 方向继续向前走 $10.8 m$ 到点 $D$ 处时，乙测得甲直立时身高 $D F$ 的影子 $C D$ 长是 $0.9 m$ ；已知甲同学直立时的身高为 $1.8 m$ ，求路灯离地面的高度 $G H$ ．

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24. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $F$ 在边 $B C$ 上，点 $E$ 是 $D F$ 的中点，连接 $A E$ 、 $B E$ ．

(1)、求证： $A E = B E$ ．

(2)、将 $C E$ 绕点E顺时针旋转，使点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 落在 $B D$ 上，连接 $F C^{'}$ ．当点 $F$ 在边 $B C$ 上运动时（点 $F$ 不与 $B$ ， $C$ 重合），判断 $△ B F C^{'}$ 的形状，并说明理由．

(3)、在（2）的条件下，已知 $B D = 3$ ，当 $∠ A E C^{'} = 45 °$ 时，求 $C F$ 的长．

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25.

(1)、【感知】如图1，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 上有两点 $A (4 ， 8)$ ， $B (- 8 ， - 4)$ ， $A D ⊥ y$ 轴交 $y$ 轴于点 $D$ ， $B C ⊥ x$ 轴交 $x$ 轴于点 $C$ ，则 $S_{△ A D C} =$ ， $S_{△ B D C} =$ ， $C D$ 与 $A B$ 的位置关系为：．

(2)、【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当 $A$ ， $B$ 是双曲线 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 同一支上任意两点，过 $A$ 、 $B$ 分别向 $y$ 轴、 $x$ 轴作垂线，交 $y$ 轴于点 $D$ ，交 $x$ 轴于点 $C$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ．
①试探究 $△ A D C$ 与 $△ B D C$ 面积的关系并说明理由；
②试探究 $C D$ 与 $A B$ 之间的位置关系并说明理由．

(3)、【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点 $A$ ， $B$ 在反比例函数 $y = \frac{20}{x}$ 的图像上，且 $A (2 ， m)$ ， $B$ 则是反比例函数 $y = \frac{20}{x}$ 第三象限内图像上的一动点，过点 $A$ 作 $A D ⊥ x$ 轴，过点 $B$ 作 $B C ⊥ y$ 轴，垂足分别分为 $D$ 、 $C$ ，若四边形 $A B C D$ 的面积为45，求点 $B$ 的坐标；

(4)、【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图像与过原点 $O$ 的直线相交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $C$ 是此函数第二象限内图像上的动点（点 $C$ 在点 $B$ 的右侧），直线 $B C$ 分别交于 $y$ 轴、 $x$ 轴于点 $D$ 、 $G$ ，连接 $A C$ 分别交 $y$ 轴、 $x$ 轴于点 $E$ 、 $F$ ．若 $D C = \frac{2}{7} B C$ ，求 $\frac{C E}{C A}$ 的值？

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