四川省乐山市2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-04-16 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．

1. 下列各式中，一定是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{- 1.2}$ B、 $\sqrt{2.4}$ C、 $\sqrt[3]{- 1.2}$ D、 $\sqrt[3]{- 2.4}$

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2. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{a - b}{a + b}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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3. 投掷一枚普通的正方体骰子，下列事件中，确定事件是（）

A、掷得的点数是2 B、掷得的点数是奇数 C、掷得的点数小于7 D、掷得的点数是大于3

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4. 一元二次方程 $3 x^{2} = 7 x$ 的根是（）

A、0或 $\frac{7}{3}$ B、0 C、 $\frac{7}{3}$ D、0或 $\frac{3}{7}$

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5. 如图，某中学学校门口有一棵与地面垂直的树 $O A$ ，为了测量其高度，在距离树底端 $20$ 米的 $B$ 处，测得树顶 $A$ 的仰角为 $α$ ，则树 $O A$ 的高度为（）

A、 $20 s i n α$ 米 B、 $20 c o s α$ 米 C、 $\frac{20}{t a n α}$ 米 D、 $20 t a n α$ 米

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6. 定义一种新运算 $a \otimes b = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ，其中 $a > 0 ， b > 0$ ，当 $x \otimes (x - 3) = 2$ 时， $x$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、4 C、4和 $- 1$ D、3

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7. 乐山市为创建全国文明城市，计划进行绿地建设，若前年绿地面积为122公顷，计划今年建设绿地面积为476公顷，求这两年绿地面积的平均增长率．设这两年绿地面积的平均增长率为 $x$ ，根据题意，可列方程（）

A、 $122 {(1 + x)}^{2} = 476$ B、 $476 {(1 + x)}^{2} = 122$ C、 $476 x^{2} = 122$ D、 $122 x^{2} = 476$

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，点 $D$ 在 $E F$ 上，延长 $A D$ 交 $B C$ 于 $N$ ， $B D ⊥ A N$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，则 $D F =$ （）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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9. 已知 $a = \sqrt{3 + \sqrt{5}} ， b = \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，则 $a - b =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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10. 如图， $A ， B ， C ， D$ 都在正方形网格的格点上， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $P$ ，则 $t a n ∠ A P B =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{5}$

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二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．

11. 二次根式 $\sqrt{2 x + 9}$ 有意义时， $x$ 的取值范围是．

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12. 已知 $△ A B C ∽ △ D E F$ ，相似比为 $1 ： 5$ ，若 $△ A B C$ 的面积为2，则 $△ D E F$ 的面积为．

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13. 某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：在不透明的盒子中装入红色、蓝色的玻璃球共 $60$ 个，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计盒子中装入红色球的个数约为．

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14. 如图，以点 $O$ 为位似中心，将 $△ A B C$ 放大得 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，已知 $A (2 ， 1) ， A^{'} (6 ， 3)$ ，若 $C (m ， n)$ ，则 $C^{'}$ 的坐标为．

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15. 已知实数 $a ， b$ 在数轴上的位置如图所示，化简 $\sqrt{{(a + 1)}^{2}} + \sqrt{{(b - 1)}^{2}} - 2$ 的结果为．

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16. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5 ， B C = 2 \sqrt{5}$ ，将 $△ A B C$ 放置在平面直角坐标系中， $A B$ 在 $y$ 轴上， $B C$ 中点 $D$ 在 $x$ 轴正半轴上，则过点 $C$ 的反比例函数的解析式为．

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三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 计算： $2 s i n 45 ° - \sqrt{8} + (π - 1)^{0} + | \sqrt{2} - 1 |$ ．

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18. 如图，点 $E$ 是矩形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上的一点， $A F ⊥ D E$ 于点 $F$ ， $A B = 3 ， D F = 0.5 ， C E = 1$ ．求 $A F$ ．

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19. 已知 $A = 2 x^{2} + 7 x - 1 ， B = 4 x + 1$ ，若 $2 A$ 的值比 $3 B$ 的值大1，求满足条件的 $x$ 值．

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20. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 的中点，连结 $C E$ 并延长交 $B A$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $A F = A B$ ；

(2)、点 $G$ 是线段 $A F$ 上一点，满足 $∠ F C G = ∠ F C D ， C G$ 交 $A D$ 于点 $H$ ，若 $\frac{A G}{F G} = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{F G}{G H}$ 的值．

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21. 按现行标准，垃圾分为“可回收物”“厨余垃圾”“有害垃圾”“其他垃圾”四类．为了有效地保护环境，要分类投放垃圾．某天，假设小明把家里的“可回收物”和“厨余垃圾”分装在2个袋中，到垃圾站随机投放到垃圾桶里．

(1)、求他将“可回收物”垃圾放对位置的概率；

(2)、若他将两袋垃圾放入了不同的垃圾桶，请用画树状图或列表的方法说明两袋垃圾恰好正确投入垃圾箱的概率．

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22. 已知函数 $y = \frac{1}{x + 3}$ 和一次函数 $y = k x + 3 (k \neq 0)$ ．

(1)、当 $k = 1$ 时，求两个函数的交点坐标；

(2)、判断这两个函数是否存在交点，并说明理由．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 上的高，且 $B C = 3 ， A D = 2$ ，矩形 $E F G H$ 的顶点 $F$ 、 $G$ 在边 $B C$ 上，顶点 $E$ 、 $H$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上．

(1)、设 $E F = x (0 < x < 2)$ ，矩形 $E F G H$ 的周长为 $y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、当 $E F G H$ 为正方形时，求正方形 $E F G H$ 的面积．

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24. 我国的特高压输电技术世界领先，为了“西电东送”，需要一排排高大的自西向东电塔来支撑电线．如图，一辆汽车行驶在平行于输电线路的公路上，小明坐在车里观察 $M$ 、 $N$ 两个电塔．车在 $A$ 处时，观察到电塔 $N$ 在正北方向，车向西行驶 $100 m$ 到 $B$ 处时，观察到电塔 $M$ 在北偏东 $15 °$ ，电塔 $N$ 在北偏东 $45 °$ ．

(1)、求 $B$ 到电塔 $N$ 的距离；

(2)、求 $M$ 、 $N$ 两个电塔之间的距离．

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25. 在 $△ A B C$ 中， $A C = B C ， ∠ A C B = 90 ° ， P$ 是 $A B$ 上一点， $\frac{P B}{A B} = \frac{1}{3} ， E$ 是边 $A C$ 上一点，连结 $P E$ ，过 $P$ 点作 $P F ⊥ P E$ ，交 $C B$ 于点 $F$ ．

(1)、如图1，若 $P E ⊥ A C$ ，求 $\frac{P F}{P E}$ ；

(2)、如图2，若点 $E$ 在边 $A C$ 上移动，试探究 $\frac{P F}{P E}$ 是否为定值，并说明理由；

(3)、如图3，若点 $E$ 与点 $C$ 重合，作 $F Q ⊥ A B$ ，垂足为 $Q$ ，求证： $P Q = \frac{1}{4} A B$ ．

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26. 阅读下列材料，解答问题：
材料：若 $x_{1} ， x_{2}$ 为一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} ， x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ．

(1)、已知实数 $m ， n$ 满足 $3 m^{2} - 5 m - 2 = 0 ， 3 n^{2} - 5 n - 2 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．
解：根据题意，可将 $m ， n$ 看作方程 $3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$ 的两个实数根．
∴ $m + n =$ ， $m n =$ ．
∴ $m^{2} n + m n^{2} = m n (m + n) =$ ．

(2)、已知实数 $a ， b$ 满足 $a^{2} = 2 a + 3 ， 9 b^{2} = 6 b + 3$ ，且 $a \neq 3 b$ ，求 $a b$ 的值．

(3)、已知实数 $m ， n$ 满足 $m + m n + n = \frac{a^{2}}{4} - 6 ， m - m n + n = - \frac{a^{2}}{4} + 2 a$ ，求实数 $a$ 的最大整数值．

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