湖南省长沙市明德教育集团2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-04-16 类型：期末考试

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是正确答案，请在答题卡中填涂符合题

1. 下列实数中，为有理数的是（　　）

A、 $\sqrt[3]{4}$ B、π C、 $\sqrt{8}$ D、1

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2. 下列立体图形中，主视图是圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 近期感染肺炎支原体学生骤增，引发了人们的关注和担心．据了解，支原体没有细胞壁，只有细胞膜，所以支原体的形态可以随机变化，是目前发现的能在无生命培养基中生长繁殖的最小最简单的细胞，直径约为0.0000001m ．把0.0000001可以用科学记数法表示为（　　）

A、1×10^﹣7 B、1×10^﹣9 C、10×10^﹣8 D、100×10^﹣6

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4. 下列运算正确的是（　　）

A、a²+a³＝a⁵ B、a⁶÷a³＝a² C、（﹣a⁴）³＝﹣a¹² D、（a﹣b）²＝a²﹣b²

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5. 2023年12月6日，第十九届中国中学生篮球锦标赛落下帷幕．长沙市明德中学男子篮球队夺得第十九届CSBA男子组全国总冠军!在“无体育不明德，无运动不青春”理念下，某校组织了篮球兴趣小组，共40名学生进行定期训练，他们的年龄分布如下表：他们年龄的中位数是（　　）
年龄/岁
15
16
17
18
人数
7
18
12
3

A、15 B、16 C、17 D、18

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6. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”意思是说“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘．问人和车的数量各是多少？”若设有x个人，则可列方程是（　　）

A、3（x+2）＝2x﹣9 B、3（x﹣2）＝2x+9 C、 $\frac{x}{3} +$ 2 $= \frac{x - 9}{2}$ D、 $\frac{x}{3} -$ 2 $= \frac{x + 9}{2}$

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8. 如图，AB∥CD ， ∠A＝125°，∠CED＝60°，则∠D的度数为（　　）

A、45° B、60° C、65° D、75°

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9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O ， OC⊥弦BD ，若∠CBD＝30°，则∠A的大小为（　　）

A、30° B、60° C、65° D、70°

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10. 二次函数y＝ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，其中结论正确的为（　　）

A、abc＜0 B、b²﹣4ac＝0 C、a﹣b+c＞0 D、4a+2b+c＜0

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 因式分解：a²﹣4a＝．

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12. 已知函数 $y = \sqrt{\frac{1}{3 - x}}$ ，则自变量x的取值范围是．

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13. 已知关于x的一元二次方程2x²﹣kx+8＝0有两个相等的实数根，则k的值是．

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14. 如图，在▱ABCD中，F是边AB的中点，连接DF交AC于点E ．若CE＝4，则AC的长是．

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15. 如图点A（x ， y）在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，且四边形ABCD为平行四边形，S_▱_ABCD＝4，则k＝．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，△A^'B^'C^'与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，且△A^'B^'C^'与△ABC位似比为1：2，若A的坐标为（﹣5，6），则A^'的坐标为．

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三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23每小题6分，第24、25每小题6分，共72分）

17. 计算： $- 1^{2024} + (π - 3.14)^{0} - \sqrt{12} + | - 3 |$ ．

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18. 先化简，后求值： $\frac{6 - 2 x}{x + 2} \div (\frac{5}{x + 2} - x + 2)$ ，其中x＝﹣4，

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19. 如图所示是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝131厘米，真空集热管AB的斜面坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ ，另一根辅助支架DE＝70厘米，∠CED＝57°．
（参考数据：sin57°≈0.8，cos57°≈0.6）

(1)、求垂直支架CE的长度．

(2)、求水箱半径的长度．

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20. 安全无小事，长沙市教育局要求各中小学校在期末考试后进行寒假安全教育．某校在典礼上开展了休学典礼——学生安全知识竞赛，赛后发现所有参赛学生会的成绩都高于50分．为了了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分为100分）作为样本进行统计分析，得到如下不完整的统计图表，请根据图标中的信息解答下列各题：
成绩（分）
频数
频率
50＜x≤60
10
a
60＜x≤70
20
0.10
70＜x≤80
30
0.15
80＜x≤90
b
0.30
90＜x≤100
80
0.40

(1)、频数分布表中a＝，请补全频数分布直方图；

(2)、若该校共有学生3200人，分数为60＜x≤90分的记为良好，请你估计该校安全知识竞赛良好的学生人数；

(3)、该校安全知识竞赛成绩满分共有4人，其中男生2名，女生2名，为了激励学生增强安全意识，现需要从这4人中随机抽取2人介绍学习经验，请用“列表法”或“画树状图”，求恰好选到一男一女的概率．

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21. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O ，过点D作DE∥AC且 $D E = \frac{1}{2} A C$ ，连接AE交OD于点F ，连接CE、OE ．

(1)、求证：四边形OCED为矩形；

(2)、若菱形ABCD的边长为12，∠ABC＝60°，求△ADE的面积．

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22. 已知甲种玩具的售价为每个16元，乙种玩具的售价为每个13元．若超市购进甲种玩具10个和乙种玩具4个需要110元，购进甲种玩具7个和乙种玩具8个需要103元．

(1)、求甲、乙两种玩具的进价；

(2)、该超市决定每天购进甲、乙两种玩具共100个，且投入资金不少于660元又不多于688元，设购买甲种玩具m个，求有几种购买方案？哪种方案下超市获得的利润最大？最大利润为多少？

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23. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC ，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E ．

(1)、求证：DE是⊙O的切线；

(2)、若AD＝4， $B D = 4 \sqrt{3}$ ，求 $\hat{A D}$ 和CE的长．

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24. 定义：对于两个关于x的函数，如果存在x取某一值时，两个函数的函数值相等，那么称两个函数互为“明盟函数”，其中x的值叫做这两个函数的“明盟点”，相等的函数值叫做“明盟值”．例如：对于函数y₁＝2x与y₂＝﹣x+3，当x＝1时，y₁＝y₂＝2，因此，y₁、y₂互为“明盟函数”，x＝1是这两个函数的“明盟点”，“明盟值”为2．

(1)、下列函数中是y＝﹣2x的“明盟函数”的有（填序号）；
①y＝x﹣2；② $y = \frac{1}{x}$ ；③y＝x²+1．

(2)、已知函数y₁＝m（x+2）﹣3与函数y₂ $= \{\begin{array}{l} x - 3 (x \geq 3) \\ 3 - x (x ＜ 3) \end{array}$ ，若y₁与y₂只存在一个“明盟点”，求m的值或取值范围；

(3)、若无论n取何值， $y = 3 x - n (n + \frac{1}{n} + 2 w) (w$ 为常数）与函数y＝x²﹣（2n﹣3）x+4n﹣1（n为常数，﹣1＜n≤4）始终是“明盟函数”，且只有一个“明盟点”，求w的值以及“明盟值”的范围．

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25. 如图，⊙O为△ABC的外接圆，点B为 $\hat{A B C}$ 的中点，点M为 $\hat{A C}$ 上一点，连接AM ，且∠AMB＝60°，连接BM交AC于D点，过M点作⊙O的切线交AC延长线于E点．

(1)、判断△ABC的形状；

(2)、求证：EM＝ED；

(3)、已知⊙O的半径为r ，且BC平分∠EBM；
①求AM•BE；
② $\frac{1}{C D} - \frac{1}{C E}$ 是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用r表示）

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成绩（分）	频数	频率
50＜x≤60	10	a
60＜x≤70	20	0.10
70＜x≤80	30	0.15
80＜x≤90	b	0.30
90＜x≤100	80	0.40

年龄/岁	15	16	17	18
人数	7	18	12	3