2023-2024学年北师大版八年级下学期数学期中仿真模拟卷三【范围：1-4章】

试卷更新日期：2024-04-15 类型：期中考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，在Rt△ABC中．∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N，下列四个结论：①AC＝AN；②EN＝FC；③EN∥BC；④∠ABC＝45°，其中正确的结论有（）

A、①②④ B、①③④ C、①②③ D、①②③④

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2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　）

A、2，3，4 B、3， $\sqrt{7}$ ， 5 C、5，12，13 D、4，4，8

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3. 在三角形ABC中， $∠ C = 90 °$ ， DE垂直平分斜边AB，分别交AB，BC于D，E.若 $∠ C A B = ∠ B + 30 °$ ，求 $∠ A E B =$ （）

A、120° B、130° C、140° D、150°

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4. 如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、4

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5. 已知 $- \frac{1}{2} a > - \frac{1}{2} b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a - b < 0$ B、 $a + b > 0$ C、 $a - b > 0$ D、 $a + b < 0$

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6. 已知一次函数 $y = k x + b$ （k、b为常数）的图象如图所示，那么关于x的不等式 $k x + b > 0$ 的解集是（　　）

A、 $x > 0$ B、 $x < 0$ C、 $x < 2$ D、 $x > 2$

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7. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 将点 $B (5 ， - 1)$ 向上平移3个单位长度得到点 $A (a + 1 ， 1 - b)$ ，则（）

A、 $a = 5 ， b = 2$ B、 $a = 4 ， b = 5$ C、 $a = 4 ， b = - 1$ D、 $a = 7 ， b = 2$

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9. 下列因式分解正确的是（）

A、 $(a + 2) (a - 3) = a^{2} - a - 6$ B、 $m {(a - 3)}^{2} - 2 {(3 - a)}^{2} = {(a - 3)}^{2} (m + 2)$ C、 $a^{2} - 4 a + 5 = {(a - 2)}^{2} + 1$ D、 $2 a (y - z) - 3 b (z - y) = (y - z) (2 a + 3 b)$

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10. 多项式 $x^{2} + 2 a x + 4$ 能用完全平方公式分解因式，则a的值是（）

A、4 B、-4 C、2或-2 D、4或-4

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二、填空题（每题3分，共15分你）

11. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2．若将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，点A的对应点为A'，且点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中，通过尺规作图，得到直线 $D E$ 和射线 $A F$ ，仔细观察作图痕迹，若 $∠ B = 42 °$ ， $∠ C = 50 °$ ，则 $∠ E A F =$ °．

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13. 对于任意实数a、b ，定义一种运算：a※ $b = a b - a + b - 2$ ．例如，2※ $5 = 2 \times 5 - 2 + 5 - 2 = 11$ ．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※ $x < 4$ ，则不等式的正整数解是__．

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14. 如图，在四边形ABCD中， $∠ D A B = 30 °$ ，连接AC ，将 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合，得到 $△ E B D$ ，若 $A B = 5$ ， $A D = 4$ ，则AC的长度为．

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15. 因式分解： $a (x + y) - 2 b (x + y) =$ ．

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三、解答题（共8题，共75分）

16. 因式分解：

(1)、 $2 x^{2} - 4 x + 2$

(2)、 ${(x - y)}^{3} - 16 (x - y)$

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17. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 1 - x > 0 \\ \frac{5 x + 1}{2} \geq 2 x - 1 \end{array}$ ，并把解集表示在数轴上．

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18. 如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC=8cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒.当点P恰好运动到∠BAC平分线上时，求t的值.

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19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点 $A (5 ， 2)$ 、 $B (5 ， 5)$ 、 $C (1 ， 1)$ 均在格点上．

(1)、将 $△ A B C$ 向下平移5个单位得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

(2)、画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $C_{1}$ 逆时针旋转 $90 °$ 后得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{1}$ ，并写出点 $B_{2}$ 的坐标．

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20. 如图， $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ， $E F$ 垂直平分 $A B$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ， $C D = D E$ ．

(1)、 $∠ B = 27 °$ ，求 $∠ E A C$ 的度数；

(2)、若 $C E = 6 c m$ ， $A D = 4 c m$ ，求 $A B$ 的长．

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21. 【阅读学习】
课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：
（1） $a m + a n + b m + b n = (a m + b m) + (a n + b n) = m (a + b) + n (a + b) = (a + b) (m + n)$ ；
（2） $x^{2} - y^{2} - 2 y - 1 = x^{2} - (y^{2} + 2 y + 1) = x^{2} - (y + 1)^{2} = (x + y + 1) (x - y - 1)$ ．

【学以致用】

请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：

(1)、 $a b - a - b + 1$ ；

(2)、 $4 - x^{2} + 4 x y - 4 y^{2}$ ．

(3)、【拓展应用】已知： $x + y = 7$ ， $x - y = 5$ ．求： $x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 x$ 的值．

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22. 某印刷厂准备采购某种型号的打印机，采购量估计为10至25台（包含10台和25台），甲、乙两家经销商提供的打印机型号、质量都相同，且报价都是每台2000元，经协商，甲经销商表示可给予每台打印机七五折优惠；乙经销商表示可先免费提供一台打印机作为样本，然后给予其余打印机八折优惠．

(1)、若该印刷厂购买这批打印机20台，则选择哪家经销商支付的费用更少？

(2)、若该印刷厂购买这批打印机所支出的费用不超过19400元，则选择哪家经销商可以购买更多打印机？

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23. 综合与实践：
问题情境：

在数学综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动.变换条件如下：如图1，直线AB，AC，BC两两相交于A，B，C三点，得知△ABC是等边三角形，点E是直线AC上一动点（点E不与点A，C重合），点F在直线BC上，连接BE，EF，使EF=BE．

独立思考：

(1)、张老师首先提出了这样一个问题：如图1，当E是线段AC的中点时，确定线段AE与CF的数量关系，请你直接写出结论：AECF（填“＞”“＜”或“=”）.
提出问题：

(2)、“奋斗”小组受此问题的启发，提出问题：若点E是线段AC上的任意一点，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？该小组认为结论仍然成立，理由如下：如图2，过点E作ED∥BC，交AB于点D．（请你补充完整证明过程）

(3)、“缜密”小组提出的问题是：动点E的运动位置如图3，图4所示，其他条件不变，根据题意补全图形，并判断线段AE与CF的数量关系是否发生变化？请你选择其中一种予以证明.

(4)、“爱心”小组提出的问题是：若等边△ABC的边长为 $2 \sqrt{3}$ ，AE=1，则BF的长为.（请你直接写出结果）．

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