2023-2024学年北师大版八年级下学期数学期中仿真模拟卷一【范围：1-3章】

试卷更新日期：2024-04-15 类型：期中考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列图案中，不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（）

A、3² ， 4² ， 5² B、13，5，12 C、 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{5}$ D、 $3 \frac{1}{2}$ ， $4 \frac{1}{2}$ ， $5 \frac{1}{2}$

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3. 已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（）

A、9 B、12 C、9或12 D、5

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4. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ A C B = 65 °$ ， $D E$ 垂直平分 $A C$ ，则 $∠ B C D$ 的度数等于（）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $20 °$ D、 $25 °$

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5. 观察图中尺规作图痕迹，下列结论不正确的是（）

A、 $P Q$ 为 $∠ A P B$ 的平分线 B、 $P A = P B$ C、点A、B到 $P Q$ 的距离不相等 D、 $A Q = B Q$

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6. 下列式子：① $x - 1 \geq 1$ ；② $- 2 < 0$ ；③ $x \neq 3$ ；④ $x + 2$ ；⑤ $x - \frac{1}{2} y = 0$ ；⑥ $x \leq 2 y$ ，你认为其中是不等式的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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7. 一次函数 $y_{1} = a x + b$ 与 $y_{2} = m x + n$ 在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，则不等式组 ${\begin{matrix} a x ＋ b > 0 \\ m x ＋ n < 0 \end{matrix}$ 的解集为（　　）

A、 $x < - 2$ B、 $- 2 < x < 3$ C、 $x > 3$ D、以上答案都不对

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8. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x - m < 0 \\ 5 - 2 x < 1 \end{array}$ 的整数解共有2个，则m的取值范围是（）

A、5<m≤6 B、4<m≤5 C、5≤m<6 D、4≤m<5

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9. 如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米， $A C = 5$ 米， $A B = 13$ 米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）

A、65 $m^{2}$ B、85 $m^{2}$ C、90 $m^{2}$ D、150 $m^{2}$

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10. 如图，在第一个△ABA₁中，∠B=20°，AB=A₁B，在A₁B上取一点C，延长AA₁到A₂ ，使得A₁A₂=A₁C，得到第二个△A₁A₂C；在A₂C上取一点D，延长A₁A₂到A₃ ，使得A₂A₃=A₂D；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A₄为顶点的等腰三角形的底角的度数为（）

A、5° B、10° C、15° D、25°

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角小于或等于45°”，应先假设.

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12. 若关于x的不等式 $a x > 2$ 可化为 $x < \frac{2}{a}$ ，则a的取值范围是．

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13. 某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为 $600$ 元、标价为 $1200$ 元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于 $10 %$ ，则最多打折 $.$

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14. 如图，一个含有30°角的三角板ABC，绕点B顺时针旋转到 $A^{'} B C^{'}$ 的位置，使A，B， $C^{'}$ 在同一条直线上，则旋转角的度数为.

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15. 如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则BE＋EF的最小值为．

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三、解答题（共9题，共75分）

16. 解不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{2 x + 1}{3} \geq \frac{3 x - 1}{2} ， \\ x - 5 \leq 1 + 4 x ， \end{array}$ 并把解集表示在数轴上．

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17. 如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于原点成中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、画出 $△ A B C$ 绕点C逆时针旋转 $90 °$ 得到的 $△ A_{2} B_{2} C$ ．

(3)、在x轴上是否存在一点P，使得 $△ A B P$ 的周长最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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18. 图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边的长分别为a和b，斜边为c．图②是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个直角梯形．

(1)、画出拼成的这个图形的示意图，并标注相关数据；

(2)、利用（1）中画出的图形证明勾股定理．

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19. 在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D.

(1)、若∠A＝40°，求∠DCB的度数；

(2)、若BC＝15，CD＝12，求AC的长.

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20. 如图，已知△ABC为等边三角形．P为△ABC内一点，PA＝8，PB＝6，PC＝10，若将△PBC绕点B逆时针旋转后得到△P′BA．

(1)、求点P与点P′之间的距离；

(2)、求∠APB的度数．

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21. 阅读下列内容，设a， b， c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a， b， c三边长间的关系来判断这个三角形的形状；
①若 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ 则该三角形是直角三角形②若 $a^{2} > b^{2} + c^{2}$ ，则该三角形是钝角三角形；③ $a^{2} < b^{2} + c^{2}$ ；则该三角形是锐角三角形

例如一个三角形的三边长分别是4，5，6则最长边是6， $6^{2} = 36 < 4^{2} + 5^{2}$ ，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题

(1)、若一个三角形的三条边长分别是2，3，4，则该三角形是三角形

(2)、若一个三角形的三条边长分别是3，4，x且这个三角形是直角三角形则x的值为

(3)、若一个三角形的三条边长分别为 $\frac{m^{2} - n^{2}}{2}$ ，mn， $\frac{m^{2} + n^{2}}{2}$ ，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程.

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22. 下面是小颖证明命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的过程，请阅读后完成相应任务．

已知：如图1， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ B A C = 30 °$ ．

求证：____

证明：延长BC到点D，使 $C D = B C$ ，连接AD．

∵ $∠ A C B = 90 ° ， ∠ B A C = 30 °$ ，

∴ $∠ A C D = 90 ° ， ∠ B = 60 °$

∵ $B C = C D ， ∠ A C B = ∠ A C D ， A C = A C$ ，

∴ $△ A B C ≌ △ A D C$ ． ∴ $A B = A D$ ．

∴ $△ A B D$ 是等边三角形．（依据：____）

∴ $B D = A B$ ， ∴ $B C = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{2} A B$ ．

(1)、上述过程中，求证的结论为；括号中的依据为；

(2)、证明以上命题后，小颖运用它解决了下列问题．

请从A，B两题中任选一题补全图形并作答．我选择题．

如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ A = 30 ° ， A B = 6$ ，点E是AB的中点．

A．过点E作EF垂直于AC，垂足为点F，求EF的长．

B．过点E作EF垂直于AB，垂足为点E，交AC于点F，求EF的长．

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23. 为了丰富学生的生活，拓宽学生的视野，提高学生各方面的能力，某校组织八年级全体学生共540人前往某社会实践基地开展研学活动，学校若租用8辆A型客车和4辆B型客车，则恰好全部坐满，已知每辆A型客车的乘客座位数比B型客车多12个．

(1)、求每辆A型客车和每辆B型客车的乘客座位数．

(2)、为确保研学活动能够更好地展开与记录，每辆车上需有1名教师同行，学校决定调整租车方案．已知租用一辆A型客车的费用为2100元，租用一辆B型客车的费用为1500元．在保持租用车辆总数不变的情况下，为接载所有参加活动的师生，如何租用车辆可使得租车总费用最少，并求租车总费用的最小值．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P (x ， y)$ 和点 $M (m ， 0)$ ，给出如下定义：如果 $| x - m | \leq k$ 且 $| y | \leq k$ （k为正整数），那么称点P为点M关于坐标轴的“k倍距”．

(1)、①在点 $P_{1} (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $P_{2} (0 ， - 2)$ ， $P_{3} (- 1 ， - 1)$ 中，点为原点O关于坐标轴的“1倍距”；
②如果点P在函数 $y = 2 x + b$ 的图象上，且为原点O关于坐标轴的“2倍距”，求b的取值范围．

(2)、如果直线 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 上存在点 $P (x ， y)$ 是点 $M (m ， 0)$ 关于坐标轴的“2倍距”，直接写出m的取值范围．

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