2024年重庆中考数学模拟试卷二（A卷）

试卷更新日期：2024-04-15 类型：中考模拟

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一、单选题

1. -2的相反数为（）

A、0 B、-1 C、2 D、1

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2. 如图，这是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列函数是反比例函数的是（）

A、 $y = \frac{k}{x}$ B、 $y = \frac{2 x}{3}$ C、 $y = 2 x^{- 1}$ D、y=-x+5

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4. 如果△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，则它们对应边上的高之比为（）

A、2：3 B、4：9 C、3：5 D、9：4

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5. 如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠AEC=100°，则∠D等于（）

A、70° B、80° C、90° D、100°

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6. 估计 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ 介于之间．（）

A、1.4与1.5 B、1.5与1.6 C、1.6与1.7 D、1.7与1.8

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7. 希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）

A、289 B、1024 C、1225 D、1378

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8.
如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（　　）

A、（5，3） B、（3，5） C、（5，4） D、（4，5）

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，顶点 $A ， B ， C ， D$ 在坐标轴上，且 $B (2 ， 0)$ ，以 $A B$ 为边构造菱形 $A B E F$ ．将菱形 $A B E F$ 与正方形 $A B C D$ 组成的图形绕点 $O$ 逆时针旋转，每次旋转 $45 °$ ，则第2020次旋转结束时，点 $F_{2020}$ 的坐标为（）

A、 $(- 2 ， 2 \sqrt{2})$ B、 $(- 2 ， - 2 \sqrt{2})$ C、 $(2 \sqrt{2} ， - 2)$ D、 $(- 2 \sqrt{2} ， - 2)$

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10. 已知点 $P (x_{n} ， y_{n})$ 在二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 1$ 的图象上，其中 $x_{1} = 1 ， x_{2} = 2 ， ⋯ ， x_{n} = n$ ，令 $A_{1} = x_{1} + y_{2} ， A_{2} = x_{2} + y_{3} ， \cdot \cdot \cdot ， A_{n} = x_{n} + y_{n + 1}$ ． $B_{n}$ 为 $A_{n}$ 的个位数字（ $n$ 为正整数），下列说法：① $A_{6} = 30$ ；② $A_{n} - 24 n$ 的最小值为 $- 132$ ，此时 $n = 11$ ；③ $B_{1} + B_{2} + ⋯ + B_{2023}$ 的个位数字为8．其中正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. 计算： $5^{2} + {(- 1)}^{0}$ 的结果是．

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12. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为2，则 $△ A C E$ 的周长为.

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13. 有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是.

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14. 某街道2020年用于绿化投资20万元，预计2022年用于绿化投资达到25万元，设这两年绿化投资的平均增长率为x ，由题意可列方程为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别 $A C$ 、 $A B$ 上的点， $B D$ 与 $C E$ 交于点O ．给出下列三个条件：① $∠ E B O = ∠ D C O$ ；② $∠ B E O = ∠ C D O$ ；③ $B E = C D$ ．利用其中两个条件可以证明 $△ A B C$ 是等腰三角形，这两个条件可以是．

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16. 六边形象征六合、六顺之意，比如首饰盒、古建筑的窗户、古井口、佛塔等等，化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．从工程角度来看，正六边形是最稳定和对称的．如图，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，若正六边形的边长为6，则劣弧 $C E$ 的长为（结果保留 $π$ ）．

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17. 已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x - 3}{2} \leq \frac{2 x - 1}{3} - 1 \\ x - a < 0 \end{array}$ 恰好有 $5$ 个整数解，则 $a$ 的取值范围为．

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18. 如图， $∠ A O B = 60 °$ ，点 $O_{1}$ 是 $∠ A O B$ 平分线上一点， $O O_{1} = 2$ ，作 $O_{1} A_{1} ⊥ O A$ ， $O_{1} B_{1} ⊥ O B$ ，垂足分别为点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，以 $A_{1} B_{1}$ 为边作等边三角形 $A_{1} B_{1} O_{2}$ ；作 $O_{2} A_{2} ⊥ O A$ ， $O_{2} B_{2} ⊥ O B$ ，垂足分别为点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ，以 $A_{2} B_{2}$ 为边作等边三角形 $A_{2} B_{2} O_{3}$ ；作 $O_{3} A_{3} ⊥ O A$ ， $O_{3} B_{3} ⊥ O B$ ，垂足分别为点 $A_{3}$ ， $B_{3}$ ，以 $A_{3} B_{3}$ 为边作等边三角形 $A_{3} B_{3} O_{4}$ ；…按这样的方法继续下去，则 $△ A_{n} B_{n} O_{n}$ 的面积为（用含正整数n的代数式表示）．

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三、解答题

19. 计算：

(1)、(x+ y)(x-y)+y(y-2)

(2)、 $(1 - \frac{m}{m + 2}) \div \frac{m^{2} - 4 m + 4}{m^{2} - 4}$

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20. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及 $∠ D P F$ 的一边上的点E，F均在格点上．

(1)、线段 $E F$ 的长等于；

(2)、若点M，N分别在射线 $P D ， P F$ 上，满足 $∠ M B N = 90 °$ 且 $B M = B N$ ．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．

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21. 为落实课后服务工作的相关要求，某学校于周一下午同时开设了四门特色课程供七年级学生选择（每个学生必选且只选一门）：A．花样跳绳；B．趣味地理；C．创意剪纸；D．音乐欣赏．该校七年级学生共有450人，全体七年级学生的选课情况统计如图①．

(1)、求该校七年级学生中选择A课程的学生共有多少人？

(2)、为了解A课程的学习效果，对七年级选择A课程的所有学生进行了一次“30秒跳绳”成绩检测，并从中随机抽取了30名学生的“30秒跳绳”成绩进行统计，将他们的成绩绘制成频数分布直方图（如图②）．
①其中 $70 \leq x < 80$ 这一组的数据为75，72，73，74，77，77，79，则这组数据的中位数是 ▲ ，众数是 ▲ ；

②根据以上信息，估计七年级选择A课程的所有学生本次检测的“30秒跳绳”成绩超过77个的有多少人？

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22. 某玩具店用2000元购进一批玩具，面市后，供不应求，于是店主又购进同样的玩具，所购的数量是第一批数量的3倍，但每件进价贵了4元，结果购进第二批玩具共用了6300元．若两批玩具的售价都是每件120元，且两批玩具全部售完。

(1)、第一次购进了多少件玩具？

(2)、求该玩具店销售这两批玩具共盈利多少元？

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23. 如图，一次函数 $y = - 3 x + 6$ 的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在线段 $A B$ 上（不与点A，B重合），过点C分别作 $O A$ ， $O B$ 的垂线，垂足为D，E，设矩形 $C D O E$ 的面积为S，点C的横坐标为x.

(1)、写出S与x的函数关系式.

(2)、当矩形 $C D O E$ 的面积最大时，求点C的坐标.

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24. 如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中 $E$ 处，测得楼 $A B$ 楼顶 $A$ 的俯角是 $60 °$ ，楼 $C D$ 的楼顶 $C$ 的俯角是 $45 °$ ，已知两楼间的距离 $B D = 100 \sqrt{3}$ 米，楼 $A B$ 的高为10米，从楼 $A B$ 的 $A$ 处测得楼 $C D$ 的 $C$ 处的仰角是 $30 ° (A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一平面内）．

(1)、求楼 $C D$ 的高；

(2)、小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在 $A$ 点的小明马上控制无人机从 $E$ 处匀速以5米 $/$ 秒的速度沿 $E A$ 方向返航，无人机能安全返航吗？

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，与轴相交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 2 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点 $F$ 是第四象限内抛物线上一点，过点 $F$ 作 $F D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，交直线 $B C$ 于点 $E$ ，当 $O D = 4 F E$ 时，求四边形 $F O B E$ 的面积；

(3)、在（2）的条件下，若点 $M$ 在抛物线上，点 $N$ 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 $B$ ， $F$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB= $\sqrt{3}$ AC，BC=6．

(1)、如图1，D是AB上一点，DE∥BC，交AC于E点，则BD，CE的数量关系为；

(2)、如图2，将（1）中△ADE绕着点A顺时针旋转，旋转角为α（0°<α<90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由；

(3)、如图3，将（1）中△ADE沿DE对折，A的对应点是M，使点M在BC下方，△MDE与Rt△ABC重叠部分面积记为y，BD的长记为x，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．

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