2014年高考理数真题试卷（四川卷）

试卷更新日期：2016-09-29 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合A={x|x²﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）

A、{﹣1，0，1，2} B、{﹣2，﹣1，0，1} C、{0，1} D、{﹣1，0}

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2. 在x（1+x）⁶的展开式中，含x³项的系数为（）

A、30 B、20 C、15 D、10

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3. 为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）

A、向左平行移动 $\frac{1}{2}$ 个单位长度 B、向右平行移动 $\frac{1}{2}$ 个单位长度 C、向左平行移动1个单位长度 D、向右平行移动1个单位长度

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4. 若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）

A、 $\frac{a}{c}$ ＞ $\frac{b}{d}$ B、 $\frac{a}{c}$ ＜ $\frac{b}{d}$ C、 $\frac{a}{d}$ ＞ $\frac{b}{c}$ D、 $\frac{a}{d}$ ＜ $\frac{b}{c}$

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5. 执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）

A、192种 B、216种 C、240种 D、288种

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7. 平面向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（4，2）， $\vec{c}$ =m $\vec{a}$ + $\vec{b}$ （m∈R），且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角等于 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则m=（）

A、﹣2 B、﹣1 C、1 D、2

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8. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC₁上，直线OP与平面A₁BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）

A、[ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，1] B、[ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，1] C、[ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ] D、[ $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，1]

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9. 已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（ $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ ）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（）

A、①②③ B、②③ C、①③ D、①②

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10. 已知F为抛物线y²=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， $\vec{O A}$ • $\vec{O B}$ =2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）

A、2 B、3 C、 $\frac{17 \sqrt{2}}{8}$ D、 $\sqrt{10}$

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二、填空题

11. 复数 $\frac{2 - 2 i}{1 + i}$ = ．

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12. 设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）= ${\begin{matrix} - 4 x^{2} + 2 ， - 1 \leq x < 0 \\ x ， 0 \leq x < 1 \end{matrix}$ ，则f（ $\frac{3}{2}$ ）= ．

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13. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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14. 设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．

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15. 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ₁（x）=x³ ， φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．
④若函数f（x）=aln（x+2）+ $\frac{x}{x^{2} + 1}$ （x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）

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三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 已知函数f（x）=sin（3x+ $\frac{π}{4}$ ）．

(1)、求f（x）的单调递增区间；

(2)、若α是第二象限角，f（ $\frac{α}{3}$ ）= $\frac{4}{5}$ cos（α+ $\frac{π}{4}$ ）cos2α，求cosα﹣sinα的值．

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17. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次击鼓出现音乐相互独立．

(1)、设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；

(2)、玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)、玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．

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18. 三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．

(1)、证明：P是线段BC的中点；

(2)、求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．

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19. 设等差数列{a_n}的公差为d，点（a_n ， b_n）在函数f（x）=2^x的图象上（n∈N^*）．

(1)、若a₁=﹣2，点（a₈ ， 4b₇）在函数f（x）的图象上，求数列{a_n}的前n项和S_n；

(2)、若a₁=1，函数f（x）的图象在点（a₂ ， b₂）处的切线在x轴上的截距为2﹣ $\frac{1}{\ln 2}$ ，求数列{ $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ }的前n项和T_n ．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当 $\frac{| T F |}{| P Q |}$ 最小时，求点T的坐标．

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21. 已知函数f（x）=e^x﹣ax²﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．

(1)、设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；

(2)、若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

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