2023-2024学年沪科版初中数学八年级上册 15.3等腰三角形同步分层训练培优卷

试卷更新日期：2024-04-15 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列条件中不能确定是等腰三角形的是（　　）

A、三条边都相等的三角形 B、有一个锐角是45°的直角三角形 C、一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形 D、一条中线把面积分成相等的两部分的三角形

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，过点 $D$ 分别作 $D E ⊥ A B, D F ⊥ A C$ ，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（）

A、∠ADC=90° B、 $D E = D F$ C、 $A D = B C$ D、 $B D = C D$

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3. 如图，分别以A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长度为半径作弧，交点分别为M，N，连接MN交AC于点 $D$ ，下列说法一定正确的是（）

A、 $△ A B D$ 是直角三角形 B、 $△ B C D$ 是等腰三角形 C、 $△ A B D$ 是等腰三角形 D、 $△ A B C$ 是等腰三角形

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4. 在△ABC和 $△ A^{^{'}} B^{^{'}} C^{^{'}}$ 中， $∠ B$ $= ∠ B^{^{'}} = 3 0^{°}, A B = A^{^{'}} B^{^{'}} = 6, A C = A^{^{'}} C^{^{'}} = 4$ .已知 $∠ C = n^{°}$ ，则 $∠ C^{^{'}} =$ （）

A、 $3 0^{°}$ B、 $n^{°}$ C、 $n^{°}$ 或 $18 0^{°} - n^{°}$ D、 $3 0^{°}$ 或 $15 0^{°}$

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5. 如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，连接PC.有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PC//QB；④PB=PA+PC；⑤当 BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，其中一定正确的有（）

A、①②③ B、②③④ C、③④⑤ D、②③④⑤

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6. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，点 $P$ 是线段 $A B$ 的中点，点 $C$ 是 $x$ 轴上的一个动点，连接 $B C$ ，以 $B C$ 为直角边，点 $B$ 为直角顶点作等腰直角 $△ B C D$ ，连接 $D P$ ．则 $D P$ 长度的最小值是（）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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7. 如图， $∠ A B C = ∠ A C B$ ， $B D$ ， $C D$ ， $A D$ 分别平分 $△ A B C$ 的内角 $∠ A B C$ ，外角 $∠ A C F$ ，外角 $∠ E A C$ ．以下结论：① $A D ∥ B C$ ；② $∠ A C B = 2 ∠ A D B$ ；③ $∠ B D C = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ；④ $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 都是等腰三角形．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，D、E分别是的边 $A C$ 、 $B C$ 上的点，且 $A D = C E$ ， $A E$ 与 $B D$ 相交于点P， $B F ⊥ A E$ 于点F， $P F = 5$ ， $P D = 3$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、8 B、13 C、16 D、17

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二、填空题

9. 由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆 $O A = O B = 15 c m$ ．若衣架收拢时， $∠ A O B = 60 °$ ，如图2，则此时A ， B两点间的距离是cm．

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 120 °$ ， D是AB上一点，且 $B D = 2 \sqrt{3}$ ， E是BC上一点，把 $△ B D E$ 沿DE翻折得 $△ B^{'} D E$ ，线段 $B^{'} D$ 与BC交于点F，当 $B^{'} D$ 所在的直线与 $△ A B C$ 的一边垂直时，DF的长是．

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11. 如图， $O$ 是直线 $B C$ 上一点， $∠ A O B = 30 °$ ， $P O$ 平分 $∠ A O C$ ， $P M / / B C$ 交 $A O$ 于点 $M$ ， $M P = 10 c m$ ， $P D ⊥ O C$ 于点 $D$ ，则 $P D =$ $c m$ ．

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12. 如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝5，BC＝4，点D为CB延长线上一点．当点D在CB延长线上运动时，AD- $\frac{1}{2}$ BD的最小值为．

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13. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $B_{1}$ ，与 $y$ 轴交点于 $D$ ，且 $O B_{1} = 1 ， ∠ O D B_{1} = 60 °$ ，以 $O B_{1}$ 为边长作等边三角形 $A_{1} O B_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} B_{2}$ 平行于 $x$ 轴，交直线 $l$ 于点 $B_{2}$ ，以 $A_{1} B_{2}$ 为边长作等边三角形 $A_{2} A_{1} B_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作 $A_{2} B_{3}$ 平行于 $x$ 轴，交直线 $l$ 于点 $B_{3}$ ，以 $A_{2} B_{3}$ 为边长作等边三角形 $A_{3} A_{2} B_{3}$ ，…，按此规律进行下去，则点 $A_{6}$ 的横坐标是.

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三、解答题

14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，点D为 $△ A B C$ 内部一点，且 $A D = C D$ .

(1)、连接BD，求证： $△ A B D ≅ △ C B D$ ；

(2)、若 $∠ B A D = 1 5^{°}$ ，延长AD至点E，使 $B E = A B$ .
①求证：DE平分 $∠ B D C$ ；
②在DE上截取DF，使 $D F = D B$ ，连接BF，请判断EF，CD的数量关系，并给出证明.

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15. 如图，∠BCD＝90°，BC＝CD ， CD⊥AD ， AC、BD交于点E ， DA＝DE ， BN平分∠DBC ，交AC于点M ，交DC于点N ．

(1)、求∠ACD的度数；

(2)、求证：DB＝DA+DC；

(3)、求证：AE＝2MN ．

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四、综合题

16. 如图1，点 $C$ 的坐标是 $(3 ， 4)$ ， $C A$ 垂直于 $y$ 轴于点 $A$ ， $E$ 是直线 $y = \frac{1}{3} x$ 在第一象限上的动点， $C E$ 交 $x$ 轴于点 $B$ ．

(1)、求当点 $B$ 的坐标为 $(9 ， 0)$ 时，
①求直线 $B C$ 的解析式；
②求 $Δ O B E$ 的面积；
③ $p$ 为坐标轴上一点，且 $Δ O E P$ 是以 $O E$ 为底边的等腰三角形，请直接写出点 $p$ 的坐标．

(2)、如图2， $D$ 是线段 $A O$ 上一点，且 $O D = 3 A D$ ，取 $O E$ 的中点 $F$ ，求 $Δ C F D$ 的面积．

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17. 已知， $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，如图，连接 $B D$ 、 $C E$ ．

(1)、如图1，求证： $B D = C E$ ；

(2)、如图2，点D在 $△ A B C$ 内，B、D、E三点在同一直线上．
①过点A作 $△ A D E$ 的高 $A F$ ，证明： $B E = C E + 2 A F$ ；
②如图3，若 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $B E$ 交 $A C$ 于点G ， $C E = 4$ ，求 $B G$ 的长．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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