2023-2024学年湖北省八年级下学期数学期中仿真模拟卷二

试卷更新日期：2024-04-14 类型：期中考试

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一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.）

1. 下列各式中，属于二次根式的是（）

A、 $x + y$ B、 $\sqrt{| - 3 |}$ C、 $\frac{1}{x}$ D、 $\sqrt[3]{x}$

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2. 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（）

A、a＝2，b＝3，c＝4 B、 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $c = \sqrt{5}$ C、a＝40，b＝50，c＝60 D、 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = \frac{1}{4}$ ， $c = \frac{1}{5}$

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3. 如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，AC＝14，BD＝8，则△BOC的周长是（）

A、21 B、22 C、25 D、32

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{9} = \pm 3$ C、 $\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{18} = 2 \sqrt{3}$

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5. 如图，一棵大树在一次强台风中在距地面 $5 m$ 处折断，倒下后树顶端着地点 $A$ 距树底端 $B$ 的距离为 $12 m$ ，则这棵大树在折断前的高度为（）

A、 $10 m$ B、 $17 m$ C、 $18 m$ D、 $20 m$

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6. 若二次根式， $\sqrt{32 n}$ 的值是整数，则下列n的取值符合条件的是（）

A、 $n = 12$ B、 $n = 15$ C、 $n = 16$ D、 $n = 18$

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7. 如图，数轴上点A表示的数是0，点B表示的数是1， $B C ⊥ A B$ ，垂足为B，且 $B C = 1$ ，以A为圆心， $A C$ 长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为（）

A、1.4 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 为 $C D$ 延长线上的一点，且 $C D = D E$ ，连接 $B E$ 分别交 $A C$ ， $A D$ 于点 $F$ 、 $G$ ，连接 $O G$ ，则下列结论：（）

$① O G = \frac{1}{2} A B$ ；
$②$ 与 $△ E G D$ 全等的三角形共有 $2$ 个；
$③ S_{四边形 O D E G} = S_{四边形 A B O G}$ ；

$④$ 由点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 构成的四边形是菱形．

A、 $① ③ ④$ B、 $① ④$ C、 $① ② ③$ D、 $② ③ ④$

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二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．）

9. 已知 $a = \sqrt{5} + \sqrt{3} ， b = \sqrt{5} - \sqrt{3} ，$ 则 $a^{2} - b^{2}$ 的值是

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10. 观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：

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11. 已知 $\sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3} + 1 = y$ ，则 $x + y$ 的算术平方根是．

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12. 在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，要使它变成矩形，需要添加的一个条件是(写出一种情况即可).

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13. 若最简二次根式 $\sqrt{2 a + 1}$ 和 $\sqrt{4 a - 3}$ 能合并，则a的值为.

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14. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，AC=5，点D在边BC上.若以AD，CD为边，AC为对角线，作▱ADCE，则对角线DE的长的最小值为.

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15. 观察下列等式：
第1个等式： $a_{1} = \frac{1}{1 + \sqrt{2}}$ $=$ = $\sqrt{2}$ $- 1$ ，
第 $2$ 个等式： $a_{2} = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ = $=$ $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，
第 $3$ 个等式： $a_{3} = \frac{1}{\sqrt{3} + 2}$ $= 2 -$ $\sqrt{3}$ ，
第 $4$ 个等式： $a_{4} = \frac{1}{2 + \sqrt{5}}$ = $=$ $\sqrt{5}$ $- 2$ ，
…
按上述规律，计算 $a_{1} + a_{2} + a_{3} ⋯ + a_{n} =$ ．

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16. $2002$ 年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展 $.$ 如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图” $.$ 记图中正方形 $A B C D$ 、正方形 $E F G H$ 、正方形 $M N K T$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3} .$ 若正方形 $E F G H$ 的边长为 $\sqrt{10}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} =$ ．

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三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．）

17. 计算：

(1)、 $(2 \sqrt{12} - 3 \sqrt{\frac{1}{3}}) \times \sqrt{6} .$

(2)、 $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + \frac{2 \sqrt{12} + \sqrt{3}}{3} + {(\frac{1}{6})}^{- 1} .$

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18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 $1$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均在格点上．

(1)、图中线段 $A B =$ ， $A C =$ ， $B C =$ ；

(2)、求证： $△ A B C$ 是直角三角形．

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19. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千 $O A$ 静止的时候，踏板离地高一尺（ $A C = 1$ 尺）将它往前推进两步（ $E B = 10$ 尺），此时踏板升高离地五尺（ $B D = 5$ 尺），求秋千绳索 $O B$ 的长度．

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20. 请阅读下列材料：
问题：已知 $x = \sqrt{5} + 2$ ，求代数式 $x^{2} - 4 x - 7$ 的值.小敏的做法是：根据 $x = \sqrt{5} + 2$ 得 $(x - 2)^{2} = 5$ ， $∴ x^{2} - 4 x + 4 = 5$ ，得： $x^{2} - 4 x = 1$ .把 $x^{2} - 4 x$ 作为整体代入：得 $x^{2} - 4 x - 7 = 1 - 7 = - 6$ .即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.请你用上述方法解决下面问题：

(1)、已知 $x = \sqrt{5} - 2$ ，求代数式 $x^{2} + 4 x - 10$ 的值；

(2)、已知 $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，求代数式 $x^{3} + x^{2} + 1$ 的值.

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21. 如图，在▱ $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $B C$ 、 $A D$ 上， $A C$ 与 $E F$ 相交于点 $O$ ，且 $A O = C O$ .

(1)、求证： $△ A O F$ ≌ $△ C O E$ ；

(2)、连接 $A E$ ， $C F$ ，求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形.

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22. 如图1，在 $△ D B F$ 中， $D B = D F$ ， $D C ⊥ B F$ 于点C，点E是 $B D$ 的中点，连接 $C E$ 并延长，使 $A E = C E$ ，连接 $A D 、 A B$ .

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形.

(2)、如图2，点H为 $D F$ 的中点，连结 $C H$ ，若 $A B = 4$ ， $B C = 2$ ，求四边形 $E C H D$ 的面积.

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23. $△ A B C$ 中，D、E分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，O是 $△ A B C$ 内任意一点，连接 $O B$ 、 $O C$ ．

(1)、如图1，点G、F分别是 $O B$ 、 $O C$ 的中点，连接 $D G$ ， $G F$ ， $F E$ ， $D E$ ，求证：四边形 $D E F G$ 是平行四边形；

(2)、如图2，若点O恰为 $B E$ 和 $C D$ 交点，求证： $O B = 2 O E$ ， $O C = 2 O D$ ；

(3)、如图3，若点O恰为 $B E$ 和 $C D$ 交点，射线 $A O$ 与 $B C$ 交于点M ，求证： $B M = C M$ ．

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 20$ ， $∠ A = 60 °$ ．点P从点B出发沿 $B A$ 方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时点Q从点A出发沿 $A C$ 方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作 $P M ⊥ B C$ 于点M，连接 $P Q$ 、 $Q M$ ．

(1)、请用含有t的式子填空：
$A Q =$ ， $A P =$ ， $P M =$ ；

(2)、是否存在某一时刻使四边形 $A Q M P$ 为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．

(3)、当t为何值时， $△ P Q M$ 为直角三角形？请说明理由．

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