2023-2024学年广西八年级下学期数学期中仿真模拟卷二

试卷更新日期：2024-04-14 类型：期中考试

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一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)

1. $\sqrt{5}$ 的倒数是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（）

A、 $2 ， 3 ， 4$ B、 $4 ， 5 ， 6$ C、 $7 ， 8 ， 9$ D、 $6 ， 8 ， 10$

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3. 在长为 $16 c m$ ，宽为 $12 c m$ 的长方形硬纸板中剪掉一个直角三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所示的数据（单位： $c m$ ）不正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，图形是由两个直角三角形和三个正方形组成，若正方形A、B的面积分别为8、20，大直角三角形一边长为6，则斜边长m为（）

A、8 B、9 C、10 D、 $2 \sqrt{7}$

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5. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（）

A、AD=BC B、∠ABD=∠BDC C、AB=AD D、∠A=∠C

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6. 已知 $0 < x < 1$ ，且 $x + \frac{1}{x} = 7$ ，则 $\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ 的值为（）

A、 $- \sqrt{10}$ B、 $- \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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7. 如图，AC 是▱ABCD 的对角线，若当它满足：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠B=∠3；④∠1=∠3 中某一条件时，▱ABCD是菱形，则这个条件是（）

A、①或② B、①或④ C、②或③ D、③或④

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8. 如图，长方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 1$ ， $A B$ 在数轴上，若以点 $A$ 为圆心， $A C$ 的长为半径作弧交数轴于点 $M$ ，则点 $M$ 表示的数为 $($ 　　 $)$

A、 $\sqrt{10} - 1$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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9. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（）

A、当AC=BD时，四边形ABCD是矩形 B、当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 C、当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形 D、当∠DAB= 90°时，四边形ABCD是正方形

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10. 如图，在边长为4 $\sqrt{3}$ 的正方形ABCD中，∠CDE=30°，DE⊥CF，则AF 的长为（）

A、 $4 - 2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} - 4$ C、 $4 - 4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3} - 4$

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11. 七巧板是我国祖先的一项卓越创造，如图1，正方形ABCD可以制作一副七巧板，现将这副七巧板拼成如图2所示的“风车”造型(内部有一处空缺)，连结最外围的风车顶点 M，N，P，Q得到一个四边形MNPQ，则正方形ABCD与四边形MNPQ的面积之比为（）

A、5：8 B、3 ： 5 C、8： 13 D、25：49

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12. 如图，在▱ABCD中，O是对角线AC上一点，连结 BO，DO.若△COD，△AOD，△AOB，△BOC 的面积分别为 S₁ ， S₂ ， S₃ ， S₄ ，则下列关于 S₁ ， S₂ ， S₃ ， S₄的等量关系中，不一定正确的是（）

A、 $S_{1} + S_{3} = S_{2} + S_{4}$ B、 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{S_{4}}{S_{3}}$ C、 $S_{3} - S_{1} = S_{2} - S_{4}$ D、 $S_{2} + S_{3} = 2 (S_{1} + S_{4})$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）

13. 若二次根式 $\sqrt{2 x - 6}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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14. 如图，一棵树在一次强台风中在离地面 $x$ 米处折断倒下，倒下部分与地面成 $30 °$ 的夹角，树尖离树根的水平距离是 $6 \sqrt{3}$ 米，则 $x =$ ．

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15. 若实数 $m ， n$ 满足 $| m - n - 5 | + \sqrt{2 m + n - 4} =$ 0 ，则 $3 m + n =$ .

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16. 已知菱形的对角线的长分别是 $6 c m$ 和 $8 c m$ ，则菱形的周长等于 $c m$ ．

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17. 如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是．

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18. 如图，定义：若菱形 AECF 与正方形ABCD的两个顶点A，C重合，另外两个顶点E，F在正方形ABCD 的内部，则称菱形AECF 为正方形ABCD 的内含菱形.若正方形的周长为16，其内含菱形的边长是整数，则内含菱形的周长为；若正方形的面积为18，其内含菱形的面积为6，则内含菱形的边长为.

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三、解答题（共8题，共72分）

19. 计算： $(\sqrt{5} + 3) (\sqrt{5} - 3) - (\sqrt{3} - 1)^{2}$ ．

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20. 已知 $x = \sqrt{3} - \sqrt{7}$ ， $y = \sqrt{7} + \sqrt{3}$ ，求 ${(x + y)}^{2} - 3 x y$ 的值．

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21. 如图，在▱ $A B C D$ 中，点 $G$ ， $H$ 分别是 $A B$ ， $C D$ 的中点，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $A C$ 上，且 $A E = C F$ .

(1)、求证：四边形 $E G F H$ 是平行四边形；

(2)、连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $O$ ，若 $B D = 10$ ， $A E + C F = E F$ ，求 $E G$ 的长.

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22. 如图，C地到A，B两地分别有笔直的道路 $C A$ ， $C B$ 相连，A地与B地之间有一条河流通过，A，B，C三地的距离如图所示.

(1)、如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？

(2)、现计划把河水从河道 $A B$ 段的点D引到C地，求C，D两点间的最短距离.

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23. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1.

(1)、判断△BEC的形状，并说明理由；

(2)、求证：四边形EFPH是矩形.

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24. [推理能力]如图，在□ABCD中，AB=2cm，AC=5cm ，S▱ABCD =8 cm²，点 E 从点 B 出发，以1cm/s的速度在 AB 的延长线上向右运动，同时点 F 从点 D 出发，以同样的速度在 CD的延长线上向左运动，运动时间为t(s).

(1)、在运动过程中，四边形 AECF 的形状是 .

(2)、当t=时，四边形 AECF 是矩形.

(3)、当 t 的值为多少时，四边形 AECF 是菱形?

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25. 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，团结一致、优势互补、取长补短、威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”.如：（ $\sqrt{5}$ +3）（ $\sqrt{5}$ ﹣3）＝﹣4，像（ $\sqrt{5}$ +3）和（ $\sqrt{5}$ ﹣3）这样的两个二次根式，它们的积不含根号，我们就称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.再如（ $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ ）与（ $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ ）也互为有理化因式.于是，下面二次根式除法可以这样运算： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ ＝ $\frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}$ ＝7+4 $\sqrt{3}$ .像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程叫分母有理化.
解决问题：

(1)、2 $\sqrt{3}$ +3 $\sqrt{2}$ 的一个有理化因式是， $\frac{4}{3 - \sqrt{5}}$ 分母有理化结果是；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ + $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ .

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26. 人教版初中数学教科书八年级下册第53页设置了如下一个“思考”栏目：
思考
如图2-3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．我们观察 $R t △ A B C$ ，在 $R t △ A B C$ 中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？

经过思考与探究，从而得到了直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
现在，我们一起来探究这条性质的证明过程：
如图1：在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，CD是斜边AB上的中线．
求证： $C D = \frac{1}{2} A B$ ．
证明：延长CD至点E，使 $D E = C D$ ，连接AE，BE．
……

(1)、请你根据以上提示，结合图形，写出完整的证明过程．

(2)、定理应用：
如图2， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，D为边AC上一点， $D E ⊥ A B$ 于点E，连接BD，M为BD的中点，CM的延长线交AB于点F，连接EC，EM．
①CM与EM的数量关系是．
②若BD是 $∠ A B C$ 的平分线，且 $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ E M B =$ °．

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