2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破6 因式分解的特殊解法

试卷更新日期：2024-04-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 以下因式分解正确的是（）

A、 $a x^{2} - a = a (x^{2} - 1)$ B、 $m^{3} + m = m (m^{2} + 1)$ C、 $x^{2} + 2 x - 3 = x (x + 2) - 3$ D、 $x^{2} + 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$

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2. 一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x²﹣9x+14＝0的根，该三角形的周长为（　　）

A、10 B、15 C、16 D、10或15

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3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）

A、（a+3）²＝a²+6a+9 B、a²-4a+4＝a（a-4）+4 C、5ax²-5ay²＝5a（x+y）（x-y） D、a²-2a-8＝（a-2）（a+4）

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4. 如果多项式 $x^{2} - 5 x + m$ 可分解为 $(x + n) (x - 3)$ ，则 $m ， n$ 的值分别为（）

A、 $24 ， - 8$ B、 $- 5 ， - 3$ C、 $- 6 ， 2$ D、 $6 ， - 2$

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5. 因式分解：① $2 x^{2} - x$ ；② $x^{2} + 4 + 4 x$ ；③ $x^{2} + x - 2$ ；④ $- x^{2} + 4 x - 4$ ，含有相同因式的是（）

A、①和② B、①和④ C、②和③ D、③和④

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6. 已知 $x ， y ， z$ 是正整数， $x > y$ ，且 $x^{2} - x y - x z + y z = 23$ ，则 $x - z$ 等于（）

A、-1 B、1或23 C、1 D、-1或23

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7. 观察下列分解因式的过程： $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 16 = {(x - y)}^{2} - 16 = (x - y + 4) (x - y - 4)$ ，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a ， b ， c满足 $a^{2} - b^{2} - a c + b c = 0$ ，则以a ， b ， c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（）

A、围成一个等腰三角形 B、围成一个直角三角形 C、围成一个等腰直角三角形 D、不能围成三角形

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8. 若c²﹣a²﹣2ab﹣b²＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（　　）

A、2 B、5 C、20 D、9

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9. 下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）

A、 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y$ B、 $x^{2} + y^{2} + 2 x y - 2$ C、 $x^{2} - y^{2} + 4 x + 4 y$ D、 $x^{2} - y^{2} + 4 y - 4$

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10. 对于a²﹣2ab+b²﹣c²的分组中，分组正确的是（）

A、（a²﹣c²）+（﹣2ab+b²） B、（a²﹣2ab+b²）﹣c² C、a²+（﹣2ab+b²﹣c²） D、（a²+b²）+（﹣2ab﹣c²）

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二、填空题

11. 分解因式： $a x^{2} - 7 a x + 6 a =$ ．

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12. 因式分解： $m x^{2} + 6 m x + 5 m =$ ．

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13. 分解因式： $6 x^{2} + 7 x y - 5 y^{2} =$

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14. 分解因式： $(x + y - 2 xy) (x + y - 2) + {(xy - 1)}^{2} =$ ．

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15. 添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式 $a^{2} - 1$ 可以用如下方法分解因式：
① $a^{2} - 1 = a^{2} - a + a - 1 = a (a - 1) + (a - 1) = (a - 1) (a + 1)$ ；

又比如多项式 $a^{3} - 1$ 可以这样分解：

② $a^{3} - 1 = a^{3} - a^{2} + a^{2} - a + a - 1 = a^{2} (a - 1) + a (a - 1) + (a - 1) = (a - 1) (a^{2} + a + 1)$ ；

仿照以上方法，分解多项式 $a^{5} - 1$ 的结果是.

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16. 若多项式x²+px-6可分解成(x+m)(x+n)，其中m，n为整数，则符合条件的p的值有个。

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三、计算题

17. 选用合适的方法将下列各式分解因式：

(1)、5x²+7x-6．

(2)、3a²b²-17abxy+10x²y² ．

(3)、a²+2ab+ac+bc+b²

(4)、a²-a²b+ab²-a+b-b² ．

(5)、x²-16x-561．

(6)、(x²+5x+3)(x²+5x-2)-6．

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18. 分解因式：

(1)、 $x^{2} - 3 x - 4$

(2)、 $m x^{2} - 6 m x y + 8 m y^{2}$

(3)、 $x^{2} - y^{2} - 4 x + 4$

(4)、 $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 x + 4 y + 4$ ．

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四、解答题

19. 将下列各式分解因式：
⑴x²+4x+3．
解：
⑵2x²-5x-3．
解：
∴2x²-5x-3=(2x+1)(x-3)．
请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式：

(1)、x²+3x +2．

(2)、x²-7x +6．

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20. 珍珍和航航对 $a x^{2} - b x + c$ 进行因式分解时，珍珍因看错了数字 $b$ 而分解成 $(x - 3) (3 x - 4)$ ，航航因看错了数字 $c$ 而分解成 $3 (x - 1) (x - 3)$ ．请正确写出 $a x^{2} - b x + c$ 并分解因式．

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五、实践探究题

21. 阅读下列材料：让我们来规定一种运算： $| \begin{array}{l} a \\ c \end{array}$    $\begin{array}{l} b \\ d \end{array} | = a d - b c$ ，例如： $| \begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}$    $\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array} | = 2 \times 1 - 4 \times 3 = - 10$ ，再如： $| \begin{array}{l} x \\ y \end{array}$    $\begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array} | = 2 x - 6 y$ ．按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：

(1)、 $| \begin{array}{l} - 2 \\ 4 \end{array}$    $\begin{array}{l} - 5 \\ 3 \end{array} | =$ ．

(2)、当 $| \begin{array}{l} x \\ 1 \end{array}$     $\begin{array}{l} 1 - x \\ 2 \end{array} | = 0$ 时，求x的值．

(3)、将下面式子进行因式分解： $| \begin{array}{l} x^{2} - 2 x \\ - 3 \end{array}$    $\begin{array}{l} 8 \\ x^{2} - 2 x - 11 \end{array} |$

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22. 阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．

(1)、利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a²x+a²y+b²x+b²y ．

(2)、因式分解：a²+2ab+b²﹣1＝（直接写出结果）．

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23. 【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
$① (x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6$ ；
$② (x - 4) (x + 1) = x^{2} - 3 x - 4$ ；
$③ (y - 5) (y - 3) = y^{2} - 8 y + 15$ ．
通过以上计算发现，形如 $(x + p) (x + q)$ 的两个多项式相乘，其结果一定为 $x^{2} + (p + q) x + p q . (p ， q$ 为整数 $)$
因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有 $x^{2} + (p + q) x + p q = (x + p) (x + q)$ ，即可将形如 $x^{2} + (p + q) x + p q$ 的多项式因式分解成 $(x + p) (x + q) (p$ 、 $q$ 为整数 $)$ ．
例如： $x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} + (1 + 2) x + 1 \times 2 = (x + 1) (x + 2)$ ．

(1)、【初步应用】用上面的方法分解因式： $x^{2} + 6 x + 8 =$ ；

(2)、【类比应用】规律应用：若 $x^{2} + m x + 8$ 可用以上方法进行因式分解，则整数 $m$ 的所有可能值是；

(3)、【拓展应用】分解因式： $(x^{2} - 4 x)^{2} - 2 (x^{2} - 4 x) - 15$ ．

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24. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将 $2 a - 3 a b - 4 + 6 b$ 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式 $= (2 a - 3 a b) - (4 - 6 b) = a (2 - 3 b) - 2 (2 - 3 b) = (2 - 3 b) (a - 2)$ ；
解法二：原式 $= (2 a - 4) - (3 a b - 6 b) = 2 (a - 2) - 3 b (a - 2) = (a - 2) (2 - 3 b)$ ．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）

(1)、【类比】请用分组分解法将 $x^{2} - a^{2} + x + a$ 因式分解；

(2)、【挑战】请用分组分解法将 $a x + a^{2} - 2 a b - b x + b^{2}$ 因式分解；

(3)、若 $a^{2} + b^{2} = 9$ ， $a - b = 2$ ，请用分组分解法先将 $a^{4} - 2 a^{3} b + 2 a^{2} b^{2} - 2 a b^{3} + b^{4}$ 因式分解，再求值．

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25. 材料：常见的分解因式的方法有提公因式法和公式法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如 $x^{2} + 2 x y + y^{2} - 16$ ，我们仔细观察这个式子会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为 $x^{2} + 2 x y + y^{2} - 16 = {(x + y)}^{2} - 4^{2} = (x + y + 4) (x + y - 4)$ ．它并不是一种独立的分解因式的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．
解答下列问题：

(1)、分解因式： $2 a^{2} - 8 a + 8$ ；

(2)、请尝试用上面材料中的方法分解因式 $x^{2} - y^{2} + 3 x - 3 y$ ．

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26. 我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 这样的式子叫做完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等.
例如：分解因式 $x^{2} + 2 x - 3$ .
原式 $= (x^{2} + 2 x + 1 - 1) - 3 = (x + 1)^{2} - 4$ $= (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$ .
求代数式 $2 x^{2} + 4 x - 6$ 的最小值. $2 x^{2} + 4 x - 6 = 2 (x^{2} + 2 x + 1 - 1) - 6 = 2 (x + 1)^{2} - 8$ .
可知当 $x = - 1$ 时， $2 x^{2} + 4 x - 6$ 有最小值-8.
根据阅读材料用配方法解决下列问题：

(1)、填空： $x^{2} -$ $+ 49 = (x - 7)^{2} ；$
$2 m^{2} + 6 m = 2 {(m + \frac{3}{2})}^{2}$ ；

(2)、利用配方法分解因式： $x^{2} - 2 x - 24$ (注意：用其它方法不给分)；

(3)、当 $x$ 为何值时，多项式 $- x^{2} - 4 x + 3$ 有最大值，并求出这个最大值.

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