2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破5 平移与旋转的相关综合题

试卷更新日期：2024-04-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，面积为3的等腰 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ，点B、点C在x轴上，且 $B (1 ， 0)$ 、C $(3 ， 0)$ ，规定把 $△ A B C$ “先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2023次变换后， $△ A B C$ 顶点A的坐标为（　　）

A、 $(- 2 ， - 2020)$ B、 $(2 ， - 2020)$ C、 $(2 ， - 2021)$ D、 $(- 2 ， - 2021)$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B < A C$ ，将 $△ A B C$ 以点 $A$ 为中心逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ；下列结论：① $∠ C D F = ∠ C A E$ ；② $D A$ 平分 $∠ B D E$ ；③ $∠ C D F = ∠ B A D$ ，其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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3. 如图，边长为6的等边三角形 $A B C$ 中，E是对称轴 $A D$ 上一个动点，连接 $E C$ ，将线段 $E C$ 绕点C逆时针旋转60度得到 $F C$ ，连接 $D F$ ，则在点E运的过程中， $D F$ 最小值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 如图，已知△ABC绕点A逆时针旋转a（0＜a＜∠BAC）得到△ADF，AB＝AC，AD交BC于点F，DE交BC、AC于点G、H，则以下结论：①△ABF≌△AEH：②FG＝CC：③连接AG、FH，则AG⊥FH：④当DF的长度最大时，AD平分∠BAC．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 如图，在 $△ O M N$ 中， $∠ O M N = 30 ° ， N (- 1 - \sqrt{3} ， 0)$ ， P是 $M N$ 上一动点，将点P绕点 $T (0 ， 1)$ 逆时针旋转 $90 °$ 落在点 $P^{'}$ 处，当点 $P^{'}$ 落在 $O N$ 边上时，点 $P^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(2 ， 0)$ C、 $(- 2 ， 0)$ D、 $(- \sqrt{3} ， 0)$

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6. 如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线 $y = x$ 上的一条动线段且 $PQ = \sqrt{2}$ （Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）

A、（ $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ） B、（ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ， $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ） C、（0，0） D、（1，1）

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二、填空题

7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 52 °$ ，将 $R t △ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转，使点 $C$ 落在斜边 $A B$ 上的点 $D$ 处，连接 $E A$ ，则 $∠ A E D$ =°.

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8. 如图，点P是等边三角形 $A B C$ 内的一点，且 $P A = 2$ ， $P B = 1.5$ ， $P C = 2.5$ ，则 $∠ A P B$ 的度数为．

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9. 如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10．在旋转过程中，当∠ADM=90时，则AM的长为，若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D₁转到其内的点D₂处，连结D₁D₂ ，如图2，此时∠AD₂C=135°，CD₂=60，则BD₂的长为．

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 125 ° ， ∠ A = 20 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点B按逆时针方向旋转α度得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ．若点 $C^{'}$ 刚好落在 $A C$ 边上，则 $α =$ ．

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11. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4 \sqrt{3}$ ， $B C = 6$ ，将 $Rt △ A B C$ 绕点B逆时针旋转 $60 °$ 至 $△ E B D$ ，连接 $A D$ ，则线段 $A D =$ ．

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12. 如图，已知在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在线段AB上，△CBD绕着点C顺时针方向旋转90°后得到△CAE，点B和点D的对应点分别是点A和点E，点M在线段AB上，且△CEM与△CDM恰好关于直线CM成轴对称，如果AM：MD：DB＝3：5：4，△ABC的面积为24，那么△AME的面积为．

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13. 如图，等边三角形ABC的顶点A、B坐标分别为（1，1）和（3，1），规定将等边三角形ABC先沿x轴翻折，再向左平移1个单位为第一次变换，则这样连续经过2021次变换后，等边三角形ABC的顶点C的坐标为．

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三、作图题

14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(- 2 ， 2)$ ，点 $B$ 与点A关于 $x$ 轴对称，点 $B$ 先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点 $C$ ．

(1)、描出点 $B$ 和点 $C$ ，并依次连接 $A B$ 、 $B C$ 、 $C A$ ，得到 $△ A B C$ ；

(2)、将（1）中的 $△ A B C$ 的各顶点的横坐标和纵坐标都乘 $\frac{3}{2}$ ，得到点 $A$ 的对应点 $A_{1}$ ，点 $B$ 的对应点 $B_{1}$ ，点 $C$ 的对应点 $C_{1}$ ，在平面直角坐标系中描出点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ ，并依次连接 $A_{1} B_{1}$ 、 $B_{1} C_{1}$ 、 $C_{1} A_{2}$ ，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、在（2）的条件下， $\frac{S_{△ A_{1} B_{1} C_{1}}}{S_{△ A B C}} =$ ．

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15. 如图，已知 $A (- 3 ， - 3)$ ， $B (- 2 ， - 1)$ ， $C (- 1 ， - 2)$ 是平面直角坐标系上三点．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$

(2)、请画出 $△ A B C$ 向上平移4个单位，向右平移5个单位得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、如果将 $△ A B C$ 各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，所得到的三角形和原三角形的形状和大小有什么关系？

(4)、在x轴上找一点E，使 $A E + B E$ 最小（保留作图痕迹），并求出这个最小距离的值．

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四、综合题

16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 70 °$ ，在同一平面内，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $40 °$ 到 $△ A B^{'} C^{'}$ 的位置，连接 $C C^{'}$ ，求证： $C C^{'} ∥ A B$ .

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17. 阅读下面材料，并解决问题：

(1)、如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；

(2)、基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF²＝BE²+FC²；

(3)、能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．

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18. 阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”．
如图1， $△ A B C ≌ △ A D E$ ，其中 $∠ B = ∠ D = 90 °$ ， $A B = B C = A D = D E = 2$ ，此时，点 $C$ 与点 $E$ 重合．

(1)、操作探究1：小凡将图1中的两个全等的 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 按图2方式摆放，点 $B$ 落在 $A E$ 上， $C B$ 所在直线交 $D E$ 所在直线于点 $M$ ，连结 $A M$ ，求证： $B M = D M$ ．

(2)、操作探究2：小彬将图1中的 $△ A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转角度 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，然后，分别延长 $B C$ 、 $D E$ ，它们相交于点 $F$ ．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：
① $α = 30 °$ 时，求证： $△ C E F$ 为等边三角形；

②当 $α =$ 时， $A C ∥ F E$ ．（直接回答即可）

(3)、操作探究3：小颖将图1中的 $△ A B C$ 绕点A按顺时针方向旋转角度 $β (0 ° < β < 90 °)$ ，线段 $B C$ 和 $D E$ 相交于点 $F$ ，当旋转到点 $F$ 是边 $D E$ 的中点时（可利用图4画图），直接写出线段 $C E$ 的长为．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{2}{3} x + 2$ 与x轴，y轴交于B、A两点.

(1)、求A、B两点的坐标；

(2)、将线段AB向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到线段CD，如图所示
①点C的坐标为 ▲ ，并求出线段CD所在直线的解析式；

②连接AC、BC，若直线AC的解析式为 $y = k x + b$ ，直线BC的解析式为 $y = m x + n$ ，直接写出关于x的不等式组 $m x + n \leq k x + b \leq - \frac{2}{3} x + 2$ 的解集.

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20. 如图1．在平面直角坐标系中，直线 $l$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴交于 $A (- 2 \sqrt{3} ， 0)$ 、 $B (0 ， - 2)$ 两点．将直线 $y = \sqrt{3} x$ 竖直向上平移2个单位后与 $l$ 交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于 $D$ ．

(1)、求点C的坐标；

(2)、连接 $A D$ ，在直线 $C D$ 上是否存在点E，使得 $S_{△ E A C} = 2 S_{△ D A C}$ ．若存在，求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，已知 $G (- 7.5 ， 0)$ ， $H (1 ， 0)$ ，过B作 $B F ∥ x$ 轴且 $B F = 3.5$ ；若点G沿 $G H$ 方向以每秒2个单位长度运动，同时， $F$ 点沿 $F B$ 方向以每秒1个单位长度运动经过t秒的运动， $G$ 到达 $G^{'}$ 处， $F$ 到达 $F^{'}$ 处，连接 $F^{'} H$ 、 $F^{'} G^{'}$ ．问： $F^{'} G^{'}$ 能否平分 $∠ F F^{'} H$ ？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $A B ： y = 3 x + m (m > 0)$ 交x轴于点A，交y轴于点B，一次函数： $y = - x + n (n > 0)$ 的图象交x轴于点C，交y轴于点D，与直线 $A B$ 交于点P．

(1)、用m，n表示点P的坐标，并求 $∠ P C A$ 的度数；

(2)、若四边形 $P D O A$ 的面积是 $\frac{11}{2}$ ，且 $B D ： C O = 1 ： 2$ ，试求点P的坐标及直线 $A B$ 的关系式；

(3)、如图2，在（2）的条件下，将直线 $A B$ 向下平移9个单位得到直线l，直线l交y轴于点M，交x轴于点N，若点E为射线 $M N$ 上一动点，连接 $P E$ ，在坐标轴上是否存在点F，使 $△ P E F$ 是以 $P E$ 为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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五、实践探究题

22. 在 $△ A B C$ 中 $A B = A C$ ，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与 $∠ B A C$ 相等的角度，得到线段AQ ，连接BQ ．

(1)、【发现问题】如图27，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；

(2)、【探究猜想】如图28，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由，请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；

(3)、[拓展应用]如图3，在 $△ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， P是线段BC上的任意一点连接AP ，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ ，连接CQ ，请求出线段CQ长度的最小值．

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23. 如图

(1)、【操作发现】如图①，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD=度；

(2)、【类比探究】如图②，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形；

(3)、【解决问题】如图③，在边长为 $\sqrt{7}$ 的等边三角形ABC内有点P，∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积；

(4)、【拓展应用】如图④是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量，AC=4，BC=5，∠ACB=30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．

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24. 【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”.
如图，点 $P$ 是 $△ A B C$ 内的一点，将 $△ A P C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转60°到 $△ A P^{^{'}} C^{^{'}}$ ，则可以构造出等边 $△ A P P^{^{'}}$ ，得 $A P = P P^{'}$ ， $C P = C P^{'}$ ，所以 $P A + P B + P C$ 的值转化为 $P P^{'} + P B + P^{'} C^{'}$ 的值，当 $B$ ， $P$ ， $P^{'}$ ， $C$ 四点共线时，线段 $B C$ 的长为所求的最小值，即点 $P$ 为 $△ A B C$ 的“费马点”.

(1)、【拓展应用】
如图1，点 $P$ 是等边 $△ A B C$ 内的一点，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ，将 $△ P A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转60°得到 $△ A P^{^{'}} C^{^{'}}$ .
①若 $P A = 3$ ，则点 $P$ 与点 $P^{'}$ 之间的距离是 ▲ ；
②当 $P A = 3$ ， $P B = 5$ ， $P C = 4$ 时，求 $∠ A P^{'} C$ 的大小；

(2)、如图2，点 $P$ 是 $△ A B C$ 内的一点，且 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，求 $P A + P B + P C$ 的最小值.

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