2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破4 一元一次不等式（组）的解法与应用

试卷更新日期：2024-04-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 不等式 $\frac{x - 2}{2} - (x - 1) \leq 1$ 的最小整数解为（）

A、-5 B、4 C、-2 D、-1

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2. 若一次函数 $y = 3 x + 6$ 与 $y = 2 x - 4$ 的图象的交点坐标为 $(a ， b)$ ，则解为 ${\begin{array}{l} x = a ， \\ y = b \end{array}$ 的方程组是（）

A、 ${\begin{array}{l} y - 3 x = 6 ， \\ 2 x + y = - 4 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 3 x + 6 + y = 0 ， \\ 2 x - 4 - y = 0 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 3 x - y + 6 = 0 ， \\ 2 x - y - 4 = 0 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 3 x - y = 6 ， \\ 2 x - y = 4 \end{array}$

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3. 已知点M（m+2，m）在第四象限，则m的取值范围是（）

A、m＞-2 B、m＜-2 C、m＞0 D、-2＜m＜0

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4. 解不等式 $2 x - 1 \leq - 5$ ，其解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，函数 $y_{1} = - 2 x$ 和 $y_{2} = a x + 3$ 的图象相交于点 $A (m ， 2)$ ，则关于x的不等式 $- 2 x > a x + 3$ 的解集是（）

A、 $x > 2$ B、 $x < 2$ C、 $x > - 1$ D、 $x < - 1$

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6. 一次函数 $y = (m + 2) x + (1 + m)$ 的图象如图所示，则m的取值范围是（）

A、 $m > - 1$ B、 $m < - 2$ C、 $- 2 < m < - 1$ D、 $m < - 1$

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7. 某企业次定购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：

A型

B型

价格（万无 $/$ 台）

12

10

月污水处理能力（吨 $/$ 月）

200

160

经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买A型污水处理设备x台，所列不等式组正确的是 $($ 　　 $)$

A、 ${\begin{cases} 12 x + 10 (8 - x) ⩽ 89 \\ 200 x + 160 (8 - x) ⩾ 1380 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} 12 x + 10 (8 = x) ⩾ 89 \\ 200 x + 160 (8 - x) ⩽ 1380 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} 12 x + 10 (8 - x) ⩾ 89 \\ 200 x + 160 (8 - x) ⩾ 1380 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} 12 x + 10 (8 - x) ⩽ 89 \\ 200 x + 160 (8 - x) ⩽ 1380 \end{cases}$

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8. 如果不等式组 ${\begin{cases} x < 8 \\ x > m \end{cases}$ 有且仅有3个整数解．那么m的取值范围是（）

A、4≤m≤5 B、4≤m<5 C、4<m<5 D、4<m≤5

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9. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 \leq 3 a \\ x + 4 > a \end{array}$ 无解，则a的取值范围是（）

A、 $a$ ≤－3 B、 $a < - 3$ C、 $a > 3$ D、 $a$ ≥3

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10. 若不等式组 ${\begin{array}{l} x + m > 2 \\ n - x > - 4 \end{array}$ 的解集为 $1 < x < 2$ ，则 ${(m + n)}^{2022}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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二、填空题

11. 在方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 2 - 3 m \\ x + 2 y = 2 + m \end{array}$ 中，若未知数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y < 0$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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12. 如图，已知函数 $y = x + 1$ 和 $y = a x + 3$ 的图象交于点 $P$ ，点 $P$ 的横坐标为 $1$ ，则关于 $x$ 的不等式 $x + 1 \geq a x + 3$ 的解集是．

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13. 对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作．若操作恰好进行两次停止，则x的取值范围是．

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14. 如果关于x的不等式组 ${\begin{matrix} \frac{x + 21}{2} \geq 3 - x \\ x < m \end{matrix}$ 恰有3个整数解，则m的取值范围是．

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15. 对于三个实数a，b，c，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数.例如：max{−1，2，6}=6，max{0，4，4}=4，若max{−x−1，2，2x−2}=2，则x的取值范围是.

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三、计算题

16. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：

(1)、 ${\begin{array}{l} x + 1 > 0 \\ 10 - 2 x > 0 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 5 x - 1 > 3 (x + 1) \\ \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} \leq 1 \end{array}$

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四、解答题

17. 求满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - 3 (x - 2) \leq 8 \\ \frac{1}{2} x - 1 ＜ 3 - \frac{3}{2} x \end{array}$ 的所有整数解．

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18. 解不等式 $\frac{x - 2}{3} - \frac{3 x + 5}{2} \geq x - \frac{2 - x}{3}$ ，并将其解集在数轴上表示出来．

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19. 阅读下面解题过程，再解答后面的问题．
求不等式 $(x - 3) (4 + 2 x) > 0$ 的解集．

解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”可得① ${\begin{array}{l} x - 3 > 0 \\ 4 + 2 x > 0 \end{array}$ 或② ${\begin{array}{l} x - 3 < 0 \\ 4 + 2 x < 0 \end{array}$ ．

解不等式组①得： $x > 3$ ，

解不等式组②得： $x < - 2$ ，

所以原不等式的解集为： $x > 3$ 或 $x < - 2$ ．

请你仿照上述方法，求不等式 $(3 x - 3) (3 + x) < 0$ 的解集．

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五、综合题

20. 已知一次函数 $y_{1} = 2 x - a$ ， $y_{2} = x - 2 b$ ．

(1)、若关于 $x$ 的方程 $y_{1} + 2 a = 3$ 的解为负数，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} y_{1} > 1 \\ y_{2} < 3 \end{array}$ 的解集为 $3 < x < 15$ ，求 $(a + 1) (b + 1)$ 的值；

(3)、在(2)的条件下，若等腰三角形的两边分别为 $a$ 和 $b$ ，求该三角形的面积．

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21. 为打造“书香校园”，学校每个班级都建立了图书角．七年1班，除了班上每位同学捐出一本书外，三位班委还相约图书城，用班费买些新书．下面是他们的对话内容：
班委A：“我上次在这边买了一套很好看的书，可惜有点贵， $160$ 元，据我了解这套书进价只有 $100$ 元．”
班委B：“你可以花 $20$ 元办一张会员卡，买书可打八折．”
班委C：“嗯，是的．不过我听说还有一种优惠方式，花 $100$ 元办张贵宾卡，买书打六折．”

(1)、班委A上次买的一套书，图书城的利润是元，利润率是．如果当时他买一张会员卡，可省下元．

(2)、当购书的总价（指未打折前的原价）为多少时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠？

(3)、三个班委精心挑选了一批新书，经过计算分析后，发现三种购买方式中，办会员卡购书最省钱，请你直接写出这批书的总价的范围．

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22. 某地计划修建一条长36千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的 $1.5$ 倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天．

(1)、求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？

(2)、已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？

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23. 如图，已知直线 $l_{1}$ 经过点 $B (0 ， 4)$ 、点 $C (2 ， - 4)$ ，交 $x$ 轴于点 $D$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一个动点，过点 $C$ 、 $P$ 作直线 $l_{2}$ ．

(1)、求直线 $l_{1}$ 的表达式；

(2)、已知点 $A (9 ， 0)$ ，当 $S_{△ D P C} = \frac{1}{2} S_{△ A C D}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，点 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 是直线 $l_{2}$ 上任意两个点，若 $x_{1} > x_{2}$ 时， $y_{1} < y_{2}$ ，请直接写出 $m$ 的取值范围．

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24. 今年1月， $N$ 市地铁价格实行消费累计优惠．普通成人每月持卡乘坐地铁，当消费累计金额不超过150元时，每次乘坐地铁的票价打9.5折；当消费累计金额超过150元时，达到规定的消费累计金额后的乘次，票价所打折扣如下表所示：
消费累计金额 $x$ （元）
折扣
$150 < x \leq 200$
9折
$200 < x \leq 300$
8折
$x > 300$
7.5折
小明上、下班每次乘坐的地铁单程票价为10元，今年3月份他上、下班持卡共乘坐了40次．

(1)、请根据以上信息填表：

第1次
第2次
…
第15次
第16次
第17次
…
消费累计金额（元）
9.5
19
…
142.5
152
…

(2)、小明当月第几次乘车后，消费累计金额超过200元？（用一元一次不等式解决问题）

(3)、小明3月份上、下班持卡乘坐地铁的消费累计金额为多少元？

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六、实践探究题

25. 阅读下面的材料，回答问题：如果(x-2)(6+2x)＞0，求x的取值范围.
解：根据题意，得 ${\begin{matrix} x - 2 > 0 \\ 6 + 2 x > 0 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} x - 2 < 0 \\ 6 + 2 x < 0 \end{matrix}$ ，分别解这两个不等式组，得第一个不等式组的解集为x＞2，第二个不等式组的解集为x＜-3.故当x＞2或x＜-3时，(x-2)(6+2x)＞0.

(1)、由(x-2)(6+2x)＞0，得出不等式组 ${\begin{matrix} x - 2 > 0 \\ 6 + 2 x > 0 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} x - 2 < 0 \\ 6 + 2 x < 0 \end{matrix}$ ，体现了思想；

(2)、试利用上述方法，求不等式(x-3)(1-x)＜0的解集.

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26. 阅读材料并完成相应的任务．
小逸在趣味数学书上看到这样一道题：已知 $- x + y = 3$ ，且 $x \leq 3$ ， $y \geq 0$ ，设 $a = x + y - 3$ ，那么 $a$ 的取值范围是什么？

【回顾】

小逸回顾做过的一道简单的类似题目：

已知 $- 1 < x < 3$ ，设 $y = x - 1$ ，那么 $y$ 的取值范围是 ① ．

【探究】

小逸想：可以将趣味数学书上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目．

由 $- x + y = 3$ 得 $y = x + 3$ ，则 $a = x + y - 3 = x + x + 3 - 3 = 2 x$ ，

由 $x \leq 3$ ， $y \geq 0$ ，得关于 $x$ 的一元一次不等式组 ② ，

解该不等式组得到 $x$ 的取值范围为 ③ ，

则 $a$ 的取值范围是 ④ ．

(1)、任务一：补充材料中的信息．
①：；②：；③：；④：．

(2)、任务二：（ⅰ）已知 $x - y = 2$ ，且 $x > 1$ ， $y \leq 3$ ，设 $k = x + y$ ，求 $k$ 的取值范围．
（ⅱ）若 $2 x = 8 y + 16 = 4 z$ ，且 $x > 0$ ， $y \geq - 1$ ， $z < 8$ ，设 $b = y + z - x$ ，且 $b$ 为整数，求 $b$ 所有可能的值的和．

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	A型	B型
价格（万无 $/$ 台）	12	10
月污水处理能力（吨 $/$ 月）	200	160

消费累计金额 $x$ （元）	折扣
$150 < x \leq 200$	9折
$200 < x \leq 300$	8折
$x > 300$	7.5折

	第1次	第2次	…	第15次	第16次	第17次	…
消费累计金额（元）	9.5	19	…	142.5	152		…