2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破3 垂直平分线与角平分线的性质与应用

试卷更新日期：2024-04-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝5，则DF的长度是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于 $\frac{1}{2}$ AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（）

A、2 B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{15}{8}$ D、 $\frac{15}{2}$

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3. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ D = 90 °$ ， $C D = 4 ， A D = 8$ ．分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径作弧，两弧交于点E，作射线 $B E$ 交 $A D$ 于点F，交 $A C$ 于点O．若点O是 $A C$ 的中点，则 $F D$ 的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C$ ， $B C = 6 cm$ ， $△ C B D$ 的周长为 $14 cm$ ，分别以A、B两点为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于点M ， N ，连接 $M N$ 与 $A C$ 相交于点D ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、 $22 cm$ B、 $16 cm$ C、 $17 cm$ D、 $20 cm$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A I$ 平分 $∠ B A C$ ， $B I$ 平分 $∠ A B C$ ，点 $O$ 是 $A C$ 、 $B C$ 的垂直平分线的交点，连接 $A O$ 、 $B O$ ，若 $∠ A O B = 140 °$ ，则 $∠ A I B$ 的大小为（）

A、 $90 °$ B、 $105 °$ C、 $125 °$ D、 $145 °$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，直线 $D E$ 是线段 $A C$ 的垂直平分线，若 $A E = 3$ ， $△ A B D$ 的周长为13，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、26 B、16 C、19 D、22

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7. 如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE=3，AF=5，则矩形ABCD的周长为（）

A、24 B、16 C、12 D、8

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8. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD的平分线交BC于E，若 $∠ E A C = 15 °$ ，则∠COE=（　　　）

A、45 $°$ B、60 $°$ C、75 $°$ D、30 $°$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $B D$ 是 $∠ A B C$ 的平分线， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，若 $△ A D E$ 的周长等于12，则 $A B$ 的长是（）

A、6 B、10 C、12 D、24

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10. 直线 $l_{1} 、 l_{2} 、 l_{3}$ 与表示三条相互交叉的公路，现要三条公路的内部建个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么选择油库的位置有（）处

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 如图，矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， E为 $B C$ 上一点， $E D$ 平分 $∠ A E C$ ， $E D = \sqrt{10}$ ，则 $A D$ 的长为．

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12. 如图，点O为直线 $A B$ 上一点，过点O作射线 $O C$ ，使 $∠ A O C = 60 °$ ，将一块透明的三角尺直角顶点放在点O处，并绕点O旋转一周，在旋转过程中，当直线 $O N$ 恰好平分锐角 $∠ A O C$ 时， $∠ B O N =$ ．

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13. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线AD交BC于点D，点M，N分别是线段AD和AB上的两个动点，则 $B M + M N$ 的最小值是．

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14. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3 ， A B = 5$ ， $△ A B C$ 的外角平分线与边 $B C$ 的垂直平分线交于点D，则 $A D =$ ．

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15. 如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝4，CF＝1，则AC的长为．

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16. 已知如图等腰△ABC ， AB=AC ， ∠BAC=120°，AD⊥BC于点D ，点N是BA延长线上一点，点M是线段AD上一点，MN=MC ，下列结论中正确的结论序号是．
①∠ACM=∠ANM；②∠ANM+∠NCB=90°；③NC=NM；④AM+AN=AB ．

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三、作图题

17. 如图，两公路 $A O$ 与 $B O$ 相交于点O，两公路内侧有两工厂C和D，现要修建一货站使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹）

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18. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，四边形ABCD．
求作：点P，使点P在四边形ABCD内部，PB＝PC，并且点P到∠BAD两边的距离相等．

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四、解答题

19. 已知在 $△ A B C$ 中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D， DM丄AB与M， DN丄AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现.

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20. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知 $∠ A O B$ 的两边上分别取点M，N，使 $O M = O N$ ，再过点M画 $O A$ 的垂线，过点N画 $O B$ 的垂线，两垂线交于点P，那么射线 $O P$ 就是 $∠ A O B$ 的平分线.请你证明这一结论.

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五、综合题

21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $E$ 是 $B C$ 边上一点， $A D$ 垂直平分 $B E$ ， $C D = A B + B D$ ．

(1)、求证： $△ A C E$ 为等腰三角形．

(2)、若 $C E = 2 D E$ ，则线段 $A D$ ， $B C$ ， $A B$ 满足什么数量关系？并说明理由，

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22. 如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．

(1)、如图1，当P，Q两点都在射线ON上时，则线段AB与PB的数量关系是；

(2)、如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．

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23. 数学课上，老师提出了如下问题：
尺规作图：作△ABC中BC边上的高线．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．
下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
作法：如图，
①以点B为圆心，以BA长为半径作弧，以点C为圆心，以CA长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）

(2)、小乐和小马帮助小东完成下面的证明．
小乐证明：
∵ $B E = B A$ ， $C E = C A$ ，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（依据1）
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
小马证明：
∵ $B E = B A$ ， $C E = C A$ ， $B C = B C$ ，
∴△ABC≌△EBC
∴ $∠ A B C = ∠ E B C$
又∵ $B E = B A$
∴ $B D ⊥ A E$ （依据2）
线段AD是△ABC中BC边上的高．
上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是什么？

(3)、请你用不同于小东作图的方法完成老师提出的问题．（尺规作图，不写作法，只保留作图痕迹）

(4)、若 $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $B C = 4$ ，则BC边上的高AD的长度为．

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24.

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的平分线交于点O，过点O作 $E F ∥ B C$ 分别交 $A B ， A C$ 于点E，F，则线段 $E F$ 与 $B E ， C F$ 之间有怎样的数量关系？说明你的理由：

(2)、如图2，若 $△ A B C$ 中 $∠ A B C$ 的平分线 $B O$ 与三角形外角平分线 $C O$ 交于点O，过O点作 $O E ∥ B C$ 交 $A B$ 于点E，交 $A C$ 于点F，直接写出 $E F$ 与 $B E ， C F$ 之间的数量关系.

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25. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C$ 的平分线与 $B C$ 的中垂线 $D E$ 交于点E，过点 $E$ 作 $A C$ 边的垂线垂足为N，过点E作 $A B$ 延长线的垂线，垂足为M.

(1)、求证： $B M = C N$ ；

(2)、若， $A B = 2$ ， $A C = 8$ ，求 $B M$ 的长.

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