2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破2 等边三角形的探索类问题

试卷更新日期：2024-04-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，D是线段 $B C$ 上一点（不与点B ， C重合），连接 $A D$ ，点E ， F分别在线段 $A B$ ， $A C$ 的延长线上，且 $D E = D F = A D$ ，点D从B运动到C的过程中， $△ B E D$ 周长的变化规律是（　　）

A、先变小后变大 B、先变大后变小 C、一直变小 D、不变

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2. 如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B、C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD=DE=DF．点D在BC边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为（）

A、不变 B、一直变小 C、先变大后变小 D、先变小后变大

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3. 如图，在平面直角坐标系中， $Δ A_{1} A_{2} A_{3}$ ， $Δ A_{3} A_{4} A_{5}$ ， $Δ A_{5} A_{6} A_{7}$ ， …都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…，其中点 $A_{1}$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ，点 $A_{2}$ 的坐标为 $(1 ， - \sqrt{3})$ ，点 $A_{3}$ 的坐标为 $(0 ， 0)$ ，点 $A_{4}$ 的坐标为 $(2 ， 2 \sqrt{3})$ ， …，按此规律排下去，则点 $A_{2020}$ 的坐标为（）

A、 $(1 ， - 1009 \sqrt{3})$ B、 $(1 ， - 1010 \sqrt{3})$ C、 $(2 ， 1009 \sqrt{3})$ D、 $(2 ， 1010 \sqrt{3})$

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4. 如图， $∠ M O N = 30 °$ ，在 $O M$ 上截取 $O A_{1} = \sqrt{3}$ ．过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} B_{1} ⊥ O M$ ，交 $O N$ 于点 $B_{1}$ ，以点 $B_{1}$ 为圆心， $B_{1} O$ 为半径画弧，交 $O M$ 于点 $A_{2}$ ；过点 $A_{2}$ 作 $A_{2} B_{2} ⊥ O M$ ，交 $O N$ 于点 $B_{2}$ ，以点 $B_{2}$ 为圆心， $B_{2} O$ 为半径画弧，交 $O M$ 于点 $A_{3}$ ；按此规律，所得线段 $A_{2022} B_{2022}$ 的长等于（）

A、 $2^{2021}$ B、 $2^{2020}$ C、 $2^{2023}$ D、 $2^{2022}$

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二、填空题

5.
数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，CD= （请你直接写出结果）．

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6. 如图， $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，分别取 $A C 、 B C$ 边的中点D、E，连接 $D E$ ，作 $E F ∥ A C$ 得到四边形 $E D A F$ ，它的周长记作 $C_{1}$ ；分别取 $E F ， B E$ 的中点 $D_{1} ， E_{1}$ ，连接 $D_{1} E_{1}$ ，作 $E_{1} F_{1} ∥ E F$ ，得到四边形 $E_{1} D_{1} F F_{1}$ ，它的周长记作 $C_{2}$ ， …，照此规律作下去，则 $C_{2022}$ 等于．

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7. 如图，∠MON=30°，点B₁在边OM上，且OB₁=2，过点B₁作B₁A₁⊥OM交ON于点A₁ ，以A₁B₁为边在A₁B₁右侧作等边三角形A₁B₁C₁；过点C₁作OM的垂线分别交OM、ON于点B₂、A₂ ，以A₂B₂为边在A₂B₂的右侧作等边三角形A₂B₂C₂；过点C₂作OM的垂线分别交OM、ON于点B₃、A₃ ，以A₃B₃为边在A₃B₃的右侧作等边三角形A₃B₃C₃ ， …；按此规律进行下去，则△A_nB_n+1C_n的面积为．（用含正整数n的代数式表示）

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8. 在平面直角坐标系中，将若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放.点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA₁→A₁A₂→A₂A₃→A₃A₄→A₄A₅…”的路线运动，设第n秒运动到点P_n（n为正整数），则点P₁₈的坐标是.

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9. 如图，在平面直角坐标系中，△AA₁C₁是边长为1的等边三角形，点C₁在y轴的正半轴上，以AA₂=2为边长画等边△AA₂C₂；以AA₃=4为边长画等边△AA₃C₃ ， …，按此规律继续画等边三角形，则点A_n的坐标为．

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三、解答题

10. 等边△ABC中，点E在AB上，点D在CA的延长线上，且ED=EC．试探索以下问题：

(1)、如图1，当E为AB中点时，试确定线段AD与BE的大小关系，请你直接写出结论：

(2)、如图2，若点E为线段AB上任意一点，（1）中结论是否成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由。

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11. 综合与实践
特例感知：
如图1，在等边三角形 $A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 延长线上一点，且 $C D < B C$ ，以 $C D$ 为边作等边三角形 $C D E$ ，连接 $B E$ ，分别过点 $B$ 作 $B F ∥ E D$ ，过点 $D$ 作 $D F ∥ B E$ ，交于点 $F$ ，连接 $A F ， A C$ 与 $B E$ 交于点 $G$ ．

(1)、试判断 $A F$ 和 $B E$ 的数量关系，并说明理由．

(2)、猜想论证：将 $△ C D E$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中 $A F$ 和 $B E$ 的数量关系是否仍然成立？请说明理由．

(3)、拓展延伸：将如图1所示的 $△ C D E$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转角度 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，当 $∠ A B F = 90 °$ 时，请直接写出 $α$ 的值．

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12. 我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．

(1)、①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定（填“是”或“不是”）可爱三角形；
②若三角形的三边长分别是4， $2 \sqrt{6}$ ， $2 \sqrt{5}$ ，则该三角形（填“是”或“不是”）可爱三角形；

(2)、若 $Rt △ A B C$ 是可爱三角形， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，求 $A B$ 的长．

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13. 在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边△ABC中，点D是AB边上任意一点，连接CD ，过点A的射线AE交BC于点E ，交CD于点F ，当∠BAE＝∠ACD时，则必有BD＝CE ．为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作∠BAE＝∠ACD ，再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空：

(1)、用直尺和圆规在图的基础上作∠BAE＝∠ACD ， AE交BC于点E ，交CD于点F ．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）

(2)、证明：∵△ABC为等边三角形
∴AC＝AB＝BC ，（） ①
在△ACD和△BAE中
${\begin{array}{l} ∠ C A B = ∠ B \\ (2) \\ ∠ A C D = ∠ B A E \end{array}$
∴△ACD≌△BAE（ASA）
∴ ▲ ③
又∵AB＝BC
∴AB﹣AD＝ ▲ ④
∴BD＝CE ．

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14. 综合与探究
如图，在△ABC中，以AB ， BC为边分别作等边△ABD和等边△BCE ，连接AE和DC ．

(1)、如图1，写出AE和DC之间的数量关系，并证明．

(2)、如图2，若DC与AE相交于点M ，求证：∠CME＝60°．

(3)、如图3，取AE ， DC的中点Q ， P ，连接BP ， PQ ， BQ ，得到△BPQ ，试猜想△BPQ的形状，并证明你的猜想．

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15. 探究题：如图：

(1)、△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P在边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；

(2)、如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条
件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，

求证：∠BQP=60°；

(3)、如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程．

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16. 数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”.几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来.下面是一道探索几何图形中线段AE与DB数量关系的例子：已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC.小强的思路是：

(1)、（特例探索）如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（选填“＞”、“＜”或“＝”）.

(2)、（特例引路）如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论并加以理由说明，格式如：答：AE ▲ DB（选填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC交AC于点F.（请你将接下来的解答过程补充完整）.

(3)、（拓展延伸）在等边三角形ABC中，当点E在直线AB上（在线段AB外），点D在线段CB的延长线上时，同样ED＝EC，若已知△ABC的边长为1，AE＝2，则请你帮助小强求出CD的长.（请你画出相应图形，并简要写出求CD长的过程）.

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17. 探索研究：已知：△ABC和△CDE都是等边三角形．

(1)、如图1，若点A、C、E在一条直线上时，我们可以得到结论：线段AD与BE的数量关系为：，
线段AD与BE所成的锐角度数为°；

(2)、如图2，当点A、C、E不在一条直线上时，请证明（1）中的结论仍然成立；
灵活运用：
如图3，某广场是一个四边形区域ABCD，现测得：AB=60m，BC=80m，且∠ABC=30°，∠DAC=∠DCA=60°，试求水池两旁B、D两点之间的距离．

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18. 探究等边三角形“手拉手”问题.

(1)、如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；

(2)、如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；

(3)、如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE.若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由.

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19. 在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.

(1)、如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时 $\frac{Q}{L} =$ ；

(2)、如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由.

(3)、如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明.

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20. 在等边 $Δ A B C$ 的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为 $△ A B C$ 外一点，且 $∠ M D N = 60^{°}$ ， $∠ B D C = 120^{°}$ ，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及 $Δ A M N$ 的周长Q与等边 $Δ A B C$ 的周长L的关系.

(1)、如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时 $\frac{Q}{L} =$ ；

(2)、如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM $\neq$ DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

(3)、如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN= $x$ ，则Q=（用 $x$ 、L表示）.

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21. 综合与实践：
问题情境：

在数学综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动.变换条件如下：如图1，直线AB，AC，BC两两相交于A，B，C三点，得知△ABC是等边三角形，点E是直线AC上一动点（点E不与点A，C重合），点F在直线BC上，连接BE，EF，使EF=BE．

独立思考：

(1)、张老师首先提出了这样一个问题：如图1，当E是线段AC的中点时，确定线段AE与CF的数量关系，请你直接写出结论：AECF（填“＞”“＜”或“=”）.
提出问题：

(2)、“奋斗”小组受此问题的启发，提出问题：若点E是线段AC上的任意一点，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？该小组认为结论仍然成立，理由如下：如图2，过点E作ED∥BC，交AB于点D．（请你补充完整证明过程）

(3)、“缜密”小组提出的问题是：动点E的运动位置如图3，图4所示，其他条件不变，根据题意补全图形，并判断线段AE与CF的数量关系是否发生变化？请你选择其中一种予以证明.

(4)、“爱心”小组提出的问题是：若等边△ABC的边长为 $2 \sqrt{3}$ ，AE=1，则BF的长为.（请你直接写出结果）．

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22. （阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，
如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE.

(1)、（材料理解）在图1中证明小明的发现.

(2)、（深入探究）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有.(将所有正确的序号填在横线上).

(3)、（延伸应用）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系.

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23. 如图1，△ABC、△DCE均为等边三角形，当B、C、E三点在同一条直线上时，连接BD、AE交于点F，易证：△ACE≌△BCD．聪明的小明将△DCE绕点C旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅！

(1)、（探究一）如图2，当B、C、E三点不在同一条直线上时，小明发现∠BFE的大小没有发生变化，请你帮他求出∠BFE的度数．

(2)、（探究二）阅读材料：在平时的练习中，我们曾探究得到这样一个正确的结论：两个全等三角形的对应边上的高相等.例如：如图3，如果△ABC≌△A’B’C’，AD、A’D’分别是△ABC、△A’B’C’的边BC、B’C’上的高，那么容易证明AD=A’D’.小明带着这样的思考又有了新的发现：如图4，若连接CF，则CF平分∠BFE，请你帮他说明理由．

(3)、（探究三）在探究二的基础上，小明又进一步研究发现，线段AF、BF、CF之间还存在一定的数量关系，请你写出它们之间的关系，并说明理由．

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