2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破13 构造中位线

试卷更新日期：2024-04-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 老师布置的作业中有这么一道题：

如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点，若 $A C = 3$ ， $A D = 4$ ．则 $A B$ 的长不可能是（）

A.5 B.7 C.8 D.9

甲同学认为AB，AC，AD这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误。乙同学认为可以从中点 $D$ 出发，构造辅助线，利用全等的知识解决。丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需构造一个特殊四边形，就可以解决关于三位同学的思考过程，你认为正确的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、乙和丙

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2. 如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD= $\frac{1}{2}$ BC，过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF=2CD，连结DF.若AB=8，则DF的长为（）

A、3 B、4 C、2 $\sqrt{3}$ D、3 $\sqrt{2}$

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3. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，E、F分别是 $D C$ 、 $A D$ 的中点， $E F ⊥ A B$ ，若 $B C ＝ 13$ ， $A B ＝ 5$ ，则 $E F$ 的长度为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4直线l经过点B，AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，则AE+CF的最大值为（）

A、 $\sqrt{15} + \sqrt{6}$ B、5 C、 $2 \sqrt{6} + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{73}$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点， $D$ ， $E$ 为 $B C$ 上的点，连接 $D N$ ， $E M$ ．若 $A B = 13$ cm， $B C = 10$ cm， $D E = 5$ cm，则图中阴影部分面积为（）

A、25cm² B、35cm² C、30cm² D、42cm²

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上， $A B = 2$ ， $B D = C D$ ， $B C = 2 A B$ .若 $△ A B D$ 与 $△ E B D$ 关于直线 $B D$ 对称，则线段 $C E$ 的长为（）

A、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{9 \sqrt{5}}{5}$

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7. 如图：已知 $A B = 10$ ，点 $C$ 、 $D$ 在线段 $A B$ 上且 $A C = D B = 2$ ； $P$ 是线段 $C D$ 上的动点，分别以 $A P$ 、 $P B$ 为边在线段 $A B$ 的同侧作等边 $Δ A E P$ 和等边 $Δ P F B$ ，连接 $E F$ ，设 $E F$ 的中点为 $G$ ；当点 $P$ 从点 $C$ 运动到点 $D$ 时，则点 $G$ 移动路径的长是 $($ 　　 $)$

A、5 B、4 C、3 D、0

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二、填空题

8. 如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠ACD=90°，E 是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF ⊥AF，AB=5，BC=13，则EF的长为

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9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在直线AC上，AD=1，过点D作DE∥AB交直线BC于点E，连接'BD，点O是线段BD的中点，连接OE，则OE的长为

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10. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 6 ， B C = 8$ ，点N是 $B C$ 边上一点，点M为 $A B$ 边上的动点，点D、E分别为 $C N ， M N$ 的中点，则 $D E$ 的最小值是．

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11. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ，将 $△ D O C$ 沿着对角线 $A C$ 翻折得到 $△ E O C$ ，连接 $B E$ ．若 $B E = 2$ ， $O C = 5$ ， $B D = 6$ ，则 $O$ 到 $C D$ 的距离为．

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12. 如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $E$ 是 $A C$ 的中点， $D$ 在 $A B$ 上且 $A D = 2 B D$ ，连接 $B E$ ， $C D$ 相交于点 $F$ ，则 $\frac{S_{△ B C F}}{S_{四边形 A D F E}} =$ ．

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三、解答题

14. 如图，在 $▱$ ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．

(1)、求证：四边形EGFH是平行四边形；

(2)、连结BD交AC于点O，若BD= 10，AE+CF=EF ，求EG的长．

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15. 如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为边AB，AC的中点，连结DE，BE，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，连结FG，FH.

(1)、求证：FG=FH，

(2)、若∠A=90°，求证：FG⊥FH.

(3)、若∠A=80°，求∠GFH的度数.

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16. 如图，在△ABC中，∠BAC=70°，∠ABC 和∠ACB的平分线相交于点 D，E，F，G，H 分别是线段 AB，AC，BD，CD的中点.

(1)、求∠BDC的度数.

(2)、连结 EG，EF，HG，HF，求证：四边形EGHF 是平行四边形.

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17. 如图，在△ABC中，D 是边 BC 上一点，E，F，G，H分别是 BD，BC，AC，AD的中点，连结EG，HF.求证：EG，HF 互相平分.

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18. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且∠AEC=90°，求线段EF的最大值．

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19. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点D ， E分别是 $A B$ ， $A C$ 边的中点．求证： $D E ∥ B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．

(1)、方法一：证明：如图，延长 $D E$ 到点 $F$ ，使 $E F = D E$ ，连接 $A F$ ， $F C$ ， $D C$ ．

(2)、方法二：证明：如图，取 $B C$ 中点 $G$ ，连接 $G E$ 并延长到点 $F$ ，使 $E F = G E$ ，连接 $A F$ ．

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20. 如图 $1$ ， $△ A B C$ 为等边三角形，在 $A B$ 、 $A C$ 上分别取点 $E$ 、 $D$ ，使 $A E = A D$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $△ A D E$ 是等边三角形．

(2)、点 $M$ 、 $N$ 分别是 $B E$ 、 $C D$ 的中点，连接 $M N$ ，当 $△ A D E$ 绕 $A$ 点旋转到如图 $2$ 的位置时，求 $∠ M A N$ 的度数．

(3)、在(2)条件下，若 $∠ C A D = 30 °$ ， $A C = 14$ ， $D E = 4 \sqrt{3}$ ，求 $A N$ 的长．

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四、综合题

21. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $∠ A B C$ 和 $∠ D A B$ 的角平分线 $B E$ 与 $A E$ 交于点 $E$ ，且点 $E$ 恰好在边 $C D$ 上．

(1)、求证： $E$ 为 $C D$ 的中点；

(2)、若 $A D = 3$ ， $B E = 4$ ，求 $A E$ 的长；

(3)、点 $F$ 为 $A E$ 的中点，连接 $C F$ ，交 $B E$ 于点 $G$ ，求证： $B G = 3 E G$ ．

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22. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F，G是边AC的三等分点，DF，EG的延长线相交于点H.

求证：

(1)、DF//BG，DF= $\frac{1}{2}$ BG；

(2)、四边形FBGH是平行四边形；

(3)、四边形ABCH是平行四边形.

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23. 已知， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，过点C作 $C E ∥ D A$ ．

(1)、如图1， $D E ∥ B A$ 交 $A C$ 于点F，连接 $A E$ ．求证：四边形 $A B D E$ 是平行四边形；

(2)、P是线段 $A D$ 上一点（不与点A，D重合）， $P E ∥ B A$ 交 $A C$ 于点F，交 $C E$ 于点E，连接 $A E$ ．
①如图2，四边形 $A B P E$ 是平行四边形吗？请说明理由．
②如图3，延长 $B P$ 交 $A C$ 于点Q，若 $B Q ⊥ A C$ ， $∠ A C B = 45 °$ ， $∠ C A D = 30 °$ ，请直接写出 $\frac{A Q}{B C}$ 的值．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $B C$ 上两动点， $B D = C E$ ．

(1)、如图1，若 $E H ⊥ A D$ 于 $H$ 交 $A B$ 于 $K$ ，求证： $A E = E K$ ；

(2)、如图2，若 $E F ∥ A D$ 交 $A C$ 于 $F$ ， $G F ⊥ A G$ ， $A G = G F$ ，求证： $A D + E F = \sqrt{2} C G$ ；

(3)、如图3，若 $A B = 4$ ，将 $A E$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得 $E M$ ， $N$ 为 $B M$ 中点，当 $A N + \frac{1}{2} A M$ 取得最小值时，请直接写出 $△ A C D$ 的面积．

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25. 在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE，交BD于点F．

(1)、如图1，若点E为AD中点，对角线AC与BD相交于点O，且△DFE的面积为 $\sqrt{5}$ ， DF＝2，求CD的长；

(2)、如图2，若点G在BD上，且DG＝AB，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若 $D M = \sqrt{2} A B$ ，用等式表示线段BM，DH，BD的数量关系，并证明；

(3)、如图3，若∠ABC＝120°，AB＝2，点N在BC边上，BC＝4CN，且CE平分∠BCD，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，且 $P Q = \sqrt{3}$ ，连接BP，NQ，请直接写出BP＋PQ＋QN的最小值．

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五、实践探究题

26.

(1)、用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC ， P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM ．

(2)、用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E ，延长线段BC交MN的延长线于点F ．求证：∠AEM＝∠F ．

(3)、用数学的语言表达
如图③，在△ABC中，AC＜AB ，点D在AC上，AD＝BC ， M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G ，连接GD ．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．

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27. 探究题

(1)、
【证法回顾】

证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，DE是△ABC的中位线．
求证：DE∥BC，DE= $\frac{1}{2}$ BC．
证明：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE （D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF=DE，连接CF；请继续完成证明过程：

(2)、【问题解决】

如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的长．

(3)、【拓展研究】如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=3 $\sqrt{2}$ ，DF=2，∠GEF=90°，求GF的长．

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