2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破9 一元二次方程根与系数的关系

试卷更新日期：2024-04-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知1是关于x的方程 $x^{2} + m x - 3 = 0$ 的一个根，则另一个根为（）

A、3 B、2 C、-3 D、-2

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2. 关于x的一元二次方程3x²-2x+m=0有两根，其中一根为x= 1，则这两根之积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $- \frac{1}{3}$

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3. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x$ +n=0的两个实数根分别为 $x_{1} = 2 ， x_{2} = - 4 ，$ 则m+n的值是（）

A、-10 B、-8 C、-6 D、-1

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4. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x$ +k+1=0的两根之积为-4，则k的值为（）

A、-1 B、4 C、-4 D、-5

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5. 若方程 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ 的两个实数根分别为α，β，则 $α^{2} + β^{2}$ 的值为（）

A、12 B、10 C、4 D、-4

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6. 若p，q是一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 9 = 0$ 的两个根，则 $p^{2} + 2 p - q$ 等于（）

A、6 B、9 C、12 D、13

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7. 已知a，b分别是方程. $x^{2} + x - 3 = 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} - b + 2024$ 的值是（）

A、2 028 B、2 026 C、2 024 D、2 023

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8. 已知x₁，x₂分别是一元二次方程 $x^{2} - 2 x = 0$ 的两个实数根，则下列结论中，错误的是（）

A、x₁≠x₂ B、 $x_{1}^{2} - 2 x_{1} = 0$ C、 $x_{1} + x_{2} = - 2$ D、x₁x₂=0

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9. 在解关于x的一元二次方程x²+px+q=0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是-3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，-4，则原来的方程是（）

A、x²+2x-3=0 B、x²+2x-20=0 C、x²-2x-20=0 D、x²-2x-3=0

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10. 有两个关于x的一元二次方程：M：ax²+bx+c＝0，N：cx²+bx+a＝0，其中a+c＝0，以下列四个结论中，
①如果a+b+c＝0，那么方程M和方程N有一个公共根为1；②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；③如果2是方程M的一个根，那么 $\frac{1}{2}$ 一定是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是x＝1．
其中错误的结论的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题

11. 已知a，b分别是方程 $x^{2} + (m + 2) x + 1 = 0$ 的两个根，则 $(a^{2} + m a + 1) (b^{2} + m b + 1) ，$ 的值为.

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12. 写出一个二次项系数为 1，解分别为 2和-3 的一元二次方程： .

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13. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 m - 1$ =0有两个实数根x₁，x₂，且 $(x_{1} + 2) (x_{2} + 2) - 2 x_{1} x_{2} = 17 ，$ 则m的值为.

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14. 已知x₁，x₂分别是一元二次方程. $x^{2} - x - 4 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1} x_{2} + 4 (x_{1} + x_{2})$ 的值是.

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15. 若等腰 $△ A B C$ 的一边长6，另两边长恰好是关于 $x$ 方程 $x^{2} - 10 x + m = 0$ 的两个实数根，则 $△ A B C$ 的面积为．

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16. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - a = 0 ，$ 有下列结论：
①当a> $-$ 1时，方程有两个不相等的实数根；
②当a>0时，方程不可能有两个异号的实数根；
③当a> $-$ 1时，方程的两个实数根不可能都小于1.
其中正确的是(填序号).

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三、解答题

17. 已知x₁ ， x₂是关于x的一元二次方程4kx²+4kx+k+1=0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x₁-x₂)(x₁-2x₂)= $- \frac{3}{2}$ 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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18. 已知x₁，x₂分别是一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k + 2 =$ 0的两个实数根.

(1)、求k的取值范围.

(2)、是否存在实数 k，使得等式 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = k - 2$ 成立? 如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由.

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19. 已知：关于x的一元二次方程x²-（m+1）x+m＝0.

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程有一根为-3，求m的值，并求另一根；

(3)、若方程两根为x₁ ， x₂ ，且满足 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - \frac{1}{2}$ ，求m的值.

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 5) x + 5 m = 0$ .

(1)、若此方程的一个根是 $x = 2$ ，求方程的另一根；

(2)、求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；

(3)、设该一元二次方程的两根为 $a$ ， $b$ ，且2， $a$ ， $b$ 分别是一个直角三角形的三边长，求 $m$ 的值.

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21. 已知 $△ A B C$ 的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 (n - 1) x + n^{2} - 2 n = 0$ 的两个根，第三边BC的长是10.

(1)、求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根.

(2)、当n为何值时， $△ A B C$ 为等腰三角形？并求 $△ A B C$ 的周长.

(3)、当n为何值时， $△ A B C$ 是以BC为斜边的直角三角形？

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22. 已知方程x²+bx+a＝0①，和方程ax²+bx+1＝0②（a≠0）.

(1)、若方程①的根为x₁＝2，x₂＝3，求方程②的根；

(2)、当方程①有一根为x＝r时，求证x＝ $\frac{1}{r}$ 是方程②的根；

(3)、若a²b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求 $\frac{m s}{n t}$ 的值.

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23. 阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
材料2：已知实数m，n满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，则m，n是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根.

(1)、材料理解：一元二次方程 $3 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ 两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ .

(2)、应用探究：已知实数m，n满足 $9 m^{2} - 9 m - 1 = 0$ ， $9 n^{2} - 9 n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值.

(3)、思维拓展：已知实数s、t分别满足 $9 s^{2} + 9 s + 1 = 0$ ， $t^{2} + 9 t + 9 = 0$ ，其中 $s t \neq 1$ 且 $s t \neq 0$ .求 $\frac{3 s t + 9 s + 3}{t}$ 的值.

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