2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破8 根的判别式的应用

试卷更新日期：2024-04-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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2. 已知关于x的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则m的取值范围是（）

A、m<4且m≠1 B、m≤ $-$ 2 C、m<2且m≠1 D、m≤2且m≠1

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3. 如果关于x的方程. $x^{2} + 2 (m - 1) x + m^{2} - m = 0$ 有两个实数根α，β，且 $a^{2} + β^{3} = 12 ，$ 那么m的值为（）

A、-1 B、-4 C、-4或1 D、-1或4

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4. 若关于x的方程 $k x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 有两个实数根，则实数k的取值范围是（）

A、k≤-1 B、k≥-1且k≠0 C、k>-1 D、k>-1且k≠0

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5. 已知关于x的方程 $m x^{2} + x - m + 1 = 0 ，$ 给出以下结论，其中错误的是（）

A、当m=0时，方程只有一个实数根 B、若 $\frac{3}{4}$ 是方程的一个根，则方程的另一个根是一1 C、无论m取何值，方程都有一个负数根 D、当m≠0时，方程有两个不相等的实数根

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6. 若关于x的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} - 2 k x + k - 3$ =0有实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k \geq \frac{3}{4}$ B、 $k \geq \frac{3}{4}$ 且k≠1 C、k≥0 D、k≥0且 k≠1

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7. 若一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象不经过第二象限，则关于x的方程 $x^{2} + k x + b = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定

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8. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；③若 $c$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；④若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = (2 a x_{0} + b)^{2}$ ；⑤存在实数 $m ， n (m \neq n)$ ，使得 $a m^{2} + b m + c = a n^{2} + b n + c$ ．
其中正确的（）

A、只有①②④ B、只有①②④⑤ C、①②③④⑤ D、只有①②③

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9. 若关于x的方程 $(k + 2) x^{2} - 2 (k - 1) x + k + 1 = 0$ ，有且只有一个x的值使等式成立，则k的值是（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、1 C、1或 $- 2$ D、 $- \frac{1}{5}$ 或 $- 2$

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二、填空题

10. 关于x的方程x²-8x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．

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11. 在实数范围内，存在2个不同的x 的值，使代数式 $x_{}^{2} - 3 x + c$ 与代数式 $x + 2$ 值相等，则c的取值范围是.

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12. 已知关于x的一元二次方程x²-2x+3m＝0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y＝t²-2t+4m+1，则y的取值范围为．

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13. 已知关于x的一元二次方程（a-3）x²-8x+9＝0．

(1)、若方程的一个根为x＝-1，则a的值为；

(2)、若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为．

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14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 3 m = 0$ 有实数根，设此方程的一个实数根为 $t$ ，令 $y = t^{2} - 2 t + 4 m + 1$ ，则 $y$ 的取值范围为．

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15. 对于代数式 $a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ， a，b，c为常数）①若 $b^{2} - 4 a c = 0$ ，则 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个相等的实数根；②存在三个实数 $m \neq n \neq s$ ，使得 $a m^{2} + b m + c = a n^{2} + b n + c = a s^{2} + b s + c$ ；③若 $a x^{2} + b x + c + 2 = 0$ 与方程 $(x + 2) (x - 3) = 0$ 的解相同，则 $4 a - 2 b + c = - 2$ ，以上说法正确的是．

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三、综合题

16. 已知关于x的方程x²＋2x＋a－2＝0.若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围.

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17. 已知有关于x的一元二次方程 $（ k + 1) x^{2} - (3 k + 1) x + 2 k = 0$ ．

(1)、求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；

(2)、若方程有一个根为-2，求k的值及方程的另一个根；

(3)、若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值．

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18. 已知一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ．
①若方程两根为1和2，则 $2 a - c = 0$ ；

②若 $b = 2 a + c$ ，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根；

③若 $m$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $b^{2} - 4 a c = (2 a m + b)^{2}$ 成立．

判断以上说法是否正确，并说明理由．

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19. 已知关于 $x$ 的方程 $k x^{2} - 2 (k + 1) x + k - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围．

(2)、是否存在实数 $k$ ，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出 $k$ 的值：若不存在，说明理由．

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20. 已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中 $a = 3 ， c = 5$ ，且关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + b = 0$ 有两个相等的实数根，判断△ABC的形状.

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21. 已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x²-2（n-1）x+n²-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．

(1)、求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．

(2)、当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．

(3)、当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

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22. 已知关于x的方程 $x^{2} - (m + 1) x + 2 (m - 1) = 0$ ．

(1)、当方程一个根为x=3时，求m的值.

(2)、求证：无论m取何值，这个方程总有实数根.

(3)、若等腰△ABC的一腰长 $a = 6$ ，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为．

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23. 根据以下材料，完成题目．
材料一：数学家欧拉为了解决一元二次方程 $x^{2} = - 1$ 在实数范围内无解的问题，引进虚数单位 $i$ ，规定 $i^{2} = - 1$ ．当 $b \neq 0$ 时，形如 $a + b i$ （ $a$ ， $b$ 为实数）的数统称为虚数．比如 $5 i$ ， $3 + 2 i$ ， $1 - \sqrt{2} i$ ．当 $b = 0$ 时， $a + b i = a + 0 \cdot i = a$ 为实数．

材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数 $a + b i$ ， $c + d i$ （其中 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 为实数．且 $b \neq 0$ ， $d \neq 0$ ）有如下运算法则

$(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$

$(a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i$

$(a + b i) \cdot (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i$

材料三：关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为实数且a≠0）如果没有实数根，那么它有两个虚数根，求根公式为 $x = \frac{- b \pm \sqrt{4 a c - b^{2}} \cdot i}{2 a}$ ．

解答以下问题：

(1)、填空：化简 $i^{4} =$ ， $(1 + i)^{2} =$ ；

(2)、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 有一个根是 $1 + i$ ，其中 $m$ ， $n$ 是实数，求 $m + n$ 的值；

(3)、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x - k + 4 = 0$ 无实数根，且 $k$ 为正整数，求该方程的虚数根．

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