2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破6 一元二次方程的特殊解法

试卷更新日期：2024-04-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知m，n都是实数，且 $(m^{2} + n^{2}) (m^{2} + n^{2} - 2) - 3$ =0，则 $m^{2} + n^{2}$ 的值为（）

A、-1 B、3 C、1或3 D、-1或3

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2. 在分式方程 $\frac{2 x - 1}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 x - 1}$ =5中，设 $\frac{2 x - 1}{x^{2}}$ =y，可得到关于y的整式方程为（）

A、y²+5y+5=0 B、y²-5y+5=0 C、y²+5y+1=0 D、y²-5y+1=0

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3. 若 $(a^{2} + b^{2}) \cdot (a^{2} + b^{2} + 4) = 12$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的值为（）

A、2或-6 B、-2或6 C、6 D、2

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4. 设（x+y）（x+2+y）-15=0，则x+y的值为（）

A、-5或3 B、-3或5 C、3 D、5

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5. 实数 $x$ 满足方程 $(x^{2} + x)^{2} + (x^{2} + x) - 2 = 0$ ，则 $x^{2} + x$ 的值等于（）

A、 $- 2$ B、 $1$ C、 $- 2$ 或 $1$ D、 $2$ 或 $- 1$

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6. 已知x、y都是实数，且(x²+y²)(x²+y²+2)﹣3＝0，那么x²+y²的值是（）

A、﹣3 B、1 C、﹣3或1 D、﹣1或3

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7. 我们知道方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的解是 $x_{1} = 1 ， x_{2} = - 3$ ，现给出另一个方程 ${(2 x + 3)}^{2} + 2 (2 x + 3) - 3 = 0$ ，它的解是（）

A、 $x_{1} = 1 ， x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = 1 ， x_{2} = - 3$ C、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = - 3$

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8. 已知 $(a^{2} + b^{2}) (a^{2} + b^{2} + 4) = 12$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的值为（）．

A、2或 $- 6$ B、 $- 2$ 或6 C、6 D、2

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9. 已知方程x²+2x﹣3=0的解是x₁=1，x₂=﹣3，则另一个方程（x+3）²+2（x+3）﹣3=0的解是（）

A、x₁=﹣1，x₂=3 B、x₁=1，x₂=﹣3 C、x₁=2，x₂=6 D、x₁=﹣2，x₂=﹣6

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二、填空题

10. 若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + 6 x - 4 = 0 (a \neq 0)$ 的解为 $x_{1} = 1 ， x_{2} = 2 ，$ ，则关于y的一元二次方程a(y+1)²+6(y+1)-4=0的解为.

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11. 若 ${(a^{2} + b^{2})}^{2} - 2 (a^{2} + b^{2}) - 8 = 0$ ，则代数式 $a^{2} + b^{2}$ 的值为

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12. 若 $(x^{2} + y^{2} + 3) (x^{2} + y^{2} - 3) = 27$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值为.

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13. 若实数x满足 $(x^{2} + 2 x)^{2} - 2 (x^{2} + 2 x) = 15$ ，则 $x^{2} + 2 x$ 的值是．

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14. 已知 $(\sqrt{x} + \sqrt{y} + 3) (\sqrt{x} + \sqrt{y} - 1) = 5$ ，则 $\sqrt{x} + \sqrt{y} =$ ．

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15. 已知x为实数，且满足 ${(x^{2} - x + 1)}^{2} - (x^{2} - x + 1)$ -12=0，那么 $x^{2}$ -x+1的值为.

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三、计算题

16. 解方程： $3 x^{2} + 10 x - 8 = 0$ ．（用十字相乘法求解）

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17. 解一元二次方程：

(1)、 ${(x + 2)}^{2} = 3 (x + 2)$

(2)、 ${(x - 2)}^{2} - 4 (2 - x) = 5$ ，

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18. 用适当的方法解方程.

(1)、 $(x + 1) (x + 3) = 15$

(2)、 $(y - 3)^{2} + 3 (y - 3) + 2 = 0$ ．

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四、解答题

19. 解方程：我们已经学习了一元二次方程的多种解法：如因式分解法，开平方法，配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选两个，并选择你认为适当的方法解这个方程
① $x^{2} - 4 x- 1 = 0$ ② $x (2 x + 1) = 8 x - 3$
③ $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ ④ $x^{2} - 9 = 4 (x - 3)$

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20. 阅读材料：解方程 ${(x^{2} - 1)}^{2} - 5 (x^{2} - 1) + 4 = 0$ ，我们可以将 $(x^{2} - 1)$ 视为一个整体，然后设 $(x^{2} - 1) = y$ ，则 ${(x^{2} - 1)}^{2} = y^{2}$ ，原方程化为 $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ ，解得 $y_{1} = 1$ ， $y_{2} = 4$ ．
当 $y = 1$ 时， $x^{2} - 1 = 1$ ， $∴ x^{2} = 2$ ， $∴ x = \pm \sqrt{2}$
当 $y = 4$ 时， $x^{2} - 1 = 4$ ， $∴ x^{2} = 5$ ， $∴ x = \pm \sqrt{5}$
$∴$ 原方程的解为 $x_{1} = \sqrt{2}$ ， $x_{2} = - \sqrt{2}$ ， $x_{3} = \sqrt{5}$ ， $x_{4} = - \sqrt{5}$
根据上面的解答，解决下面的问题：

(1)、填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了的数学思想；

(2)、解方程 $x^{4} - x^{2} - 12 = 0$ ．

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21. 阅读材料：为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4＝0，我们可以将x²-1看作一个整体，设x²-1＝y ，则原方程可化为
y²-5y+4＝0①，解得y₁＝1，y₂＝4．
当y＝1时，x²-1＝1，∴x²＝2，∴x＝± $\sqrt{2}$ ．
当y＝4时，x²-1＝4，x²＝5，∴x＝± $\sqrt{5}$ ．
故原方程的解为x₁＝ $\sqrt{2}$ ， x₂＝- $\sqrt{2}$ ， x₃＝ $\sqrt{5}$ ， x₄＝- $\sqrt{5}$ ．
解答问题：

(1)、上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的．

(2)、请利用以上知识解方程（x²+x）²-4（x²+x）+3＝0．

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22. 解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，称为换元法，例如解四次方程 $x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$ 时，可设 $y = x^{2}$ ，则原方程可化为 $y^{2} - 2 y - 3 = 0$ ，解得 $y_{1} = - 1$ ， $y_{2} = 3$ ，当 $y = - 1$ 时，则 $x^{2} = - 1$ ，无实数根；当 $y = 3$ 时，即 $x^{2} = 3$ ，则 $x_{1} = \sqrt{3}$ ， $x_{2} = - \sqrt{3} .$ 根据上述方法，完成下列问题：

(1)、设 $y = 3 x^{2} - 1$ ，将方程 $(3 x^{2} - 1)^{2} + 6 x^{2} - 1 = 0$ 转化为一元二次方程，得；

(2)、解方程： $(x^{2} - 2 x)^{2} - 3 x^{2} + 6 x = 0$ ．

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23. 解方程： $x^{4} - 3 x^{2} + 2 = 0$ ．
解：设 $x^{2} = m$ ，则原方程变为： $m^{2} - 3 m + 2 = 0$ ，解得， $m_{1} = 1$ ， $m_{2} = 2$ ．
当 $m = 1$ 时， $x^{2} = 1$ ，解得 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 1$ ；
当 $m = 2$ 时， $x^{2} = 2$ ，解得 $x_{3} = \sqrt{2}$ ， $x_{4} = - \sqrt{2}$ ；
∴原方程的解为： $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 1$ ， $x_{3} = \sqrt{2}$ ， $x_{4} = - \sqrt{2}$ ．
上面解方程的方法简称换元法．
请利用上述方法，解方程：

(1)、 ${(x + 2)}^{2} - 7 (x + 2) + 12 = 0$ ；

(2)、 ${(\frac{x}{x - 1})}^{2} + \frac{6 x}{x - 1} + 8 = 0$ ．

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24. 已知多项式乘法（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x²+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.
【示例】分解因式：x²+5x+6=x²+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）.

(1)、【尝试】分解因式：x²+6x+8=（x+）·（x+）.

(2)、【应用】请用上述方法解方程.
①x²+5x+6=0；
②x²-3x-4=0

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25. 先阅读，再解答下列问题.
已知（a²+b²）-8（a²+b²）²+16=0，求a²+b²的值.

错解：设（a²+b²）²=m，

则原式可化为m²-8m+16=0，

即（m-4）²=0，解得m=4.

由（a²+b²）²=4，得a²+b²=±2

(1)、上述解答过程错在哪里？为什么？

(2)、请你用上述方法分解因式：（a+b）²-14（a+b）+49

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26. 阅读材料：
为解方程 ${(x^{2} - 1)}^{2} - 5 (x^{2} - 1) + 4 = 0$ ，我们可以将 $x^{2} - 1$ 看作一个整体，设 $x^{2} - 1 = y$ ，那么原方程可化为 $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ ，解得 $y_{1} = 1 ， y_{2} = 4$ .当 $y = 1$ 时， $x^{2} - 1 = 1 ， ∴ x^{2} = 2 ， ∴ x = \pm \sqrt{2}$ ；当 $y = 4$ 时， $x^{2} - 1 = 4 ， ∴ x^{2} = 5 ， ∴ x = \pm \sqrt{5}$ ，故原方程的根为 $x_{1} = \sqrt{2} ， x_{2} = - \sqrt{2} ， x_{3} = \sqrt{5} ， x_{4} = - \sqrt{5} .$

(1)、请你仿照上述方法解方程： $x^{4} - x^{2} - 6 = 0$ .

(2)、设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且 $(a^{2} + b^{2}) (a^{2} + b^{2} + 1) = 12$ ，则这个直角三角形的斜边长为

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27. 换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 (x + y) + 3 (x - y) = - 2 \\ x + y - 2 (x - y) = 3 \end{array}$ ，按常规思路解方程组计算量较大．可设 $x + y = a$ ， $x - y = b$ ，那么方程组可化为 ${\begin{array}{l} 2 a + 3 b = - 2 \\ a - 2 b = 3 \end{array}$ ，从而将方程组简单化，解出 $a$ 和 $b$ 的值后，再利用 $x + y = a$ ， $x - y = b$ 解出 $x$ 和 $y$ 的值即可．用上面的思想方法解方程：

(1)、 $\frac{x^{2}}{x + 2} + \frac{2 x + 4}{x^{2}} = 3$ ；

(2)、 $x^{2} + 2 x + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x} - 5 = 0$

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28. 阅读下列材料：为解方程x⁴-x²-6=0，可将方程变形为(x²)²-x²-6=0，然后设x²=y，则(x²)²=y² ，原方程化为y²-y-6=0①，解①得y₁=-2，y₂=3．当y₁=-2时，x²=-2无意义，舍去；当y₂=3时，x²=3，解得x=± $\sqrt{3}$ ……原方程的解为x₁= $\sqrt{3}$ ， x₂= $- \sqrt{3}$ ．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题转化成简单的问题．

(1)、利用以上学习到的方法解下列方程：
①(x²-2x)2-5x²+ 10x+6=0；
②3x²+15x+2 $\sqrt{x^{2} + 5 x + 1}$ =2．

(2)、如果(m²+n²-1)(m²+n²+2)=4，求m²+n²的值

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